广东省佛山市禅城区2019-2020学年高三上学期文数统一调研测验卷（一)

试卷更新日期：2019-11-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x \in N | x < 7}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x - 5 \geq 0}$ ，则 $A \cap (C_{U} B)$ 的元素个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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2. 若 $sin α = \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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3. 已知实数 $a = 2^{ln 2}$ ， $b = 2 + 2 ln 2$ ， $c = {(ln 2)}^{2}$ ，则a，b，c的大小关系是 $($ $)$

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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4. 设 $α, β$ 为两个平面，则 $α / / β$ 的充要条件是（）

A、 $α$ 内有无数条直线与β平行 B、 $α, β$ 垂直于同一平面 C、 $α$ ， $β$ 平行于同一条直线 D、 $α$ 内有两条相交直线与 $β$ 平行

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5. 执行如图所示的程序框图，若输出 $y = - \sqrt{3}$ ，则输入的 $θ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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6. 《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 已知命题 $p : \forall x > 0$ ， $\ln (x + 1) > 0$ ，命题 $q : x^{3} > 8$ 是 $| x | > 2$ 的充要条件，下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $(\neg p) \lor q$ C、 $p \land (\neg q)$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

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8. 已知 $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$ ， $x \in [0, π]$ ，则 $\tan x$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\pm \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$ 或 $- \frac{4}{3}$

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9. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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10. 若偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(1+x)＝f(1-x)且x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x² ，函数g(x)＝ ${\begin{matrix} l g x ， x > 0 ， \\ - \frac{1}{x} ， x < 0 ， \end{matrix}$ 则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点的个数为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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11. 西安市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行某公司有 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶.已知 $E$ 车周四限行， $B$ 车昨天限行，从今天算起， $A$ ， $C$ 两车连续四天都能上路行驶， $E$ 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（）

A、今天是周四 B、今天是周六 C、 $A$ 车周三限行 D、 $C$ 车周五限行

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12. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} + \cos x$ ，若 $f (\ln \frac{a}{b}) + f (\ln \frac{b}{a}) - 2 f (1) > 0$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e}) \cup (e ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{1}{e})$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{e} ， e)$

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二、填空题

13. 若 $z (1 + i) = 2 i$ ，则 $| z | =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ ．

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15. 函数 $y = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x$ 的图像可以由函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图像至少向右移个单位长度得到．

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16. 在底面是边长为2的正方形的四棱谁P-ABCD中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成的角的正切值为2，则四棱锥P-ABCD外接球的面积为．

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三、解答题

17. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类菠菜．根据统计，该基地的西红种增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．依据折线图及其提供的数据，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？如果可以，请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01），（若 $| r | > 0.75$ ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

附：相关系数公式 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，参考数据： $\sqrt{0.3} \approx 0.55$ ， $\sqrt{0.9} \approx 0.95$ ．

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18. 已如函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 部分图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域．

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19. 已知函数 $f (x) = a x \cdot \ln x + b$ （a ， b为实数）的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = x - 1$ ．

(1)、求实数a ， b的值．

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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20. 在 $△ A B C$ 中, $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 的对边,且 $cos B = \frac{3}{5}$ , $sin A cos B - (c - cos A) \cdot sin B = 0$ .

(1)、求边 $b$ 的值;

(2)、求 $△ A B C$ 的周长的最大值.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ \sin (θ - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ ，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 3 \cos α \\ y = 3 \sin α \end{array}$ ( $α$ 为参数， $α \in R$ )．

(1)、求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；

(2)、证明：直线l和曲线C相交，并求相交弦的长度．

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22. 如图，在平行四边形ABCD中， $A B = 2 A D = 4$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ ，E为AB的中点将 $△ A D E$ 沿直线DE折起到 $△ P D E$ 的位置，使平面 $P D E ⊥$ 平面BCDE．

(1)、证明： $C E ⊥$ 平面PDE．

(2)、设F为线段PC的中点，求四面体D-PEF的体积．

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