河北省省级示范高中联合体2019届高三理数12月联考试卷

试卷更新日期：2019-11-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $z = \frac{1 - i}{{(1 - i)}^{2}}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 设集合 $A = {x | x^{2} \leq 4}$ ， $B = {x | - 3 \leq x \leq 2}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 曲线 $y = x^{3} - e^{x - 1}$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线的斜率为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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4. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = k \cdot 2^{n} - 3$ ，则 $a_{k} =$ （）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $12$ D、 $16$

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5. 如图，在 $Δ A B C$ 中 $A B ⊥ B C$ ， $\tan \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $B D$ 是 $A C$ 边上的高.若从 $Δ A B C$ 内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{4}{9}$

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6. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y \geq 6 \\ - 1 \leq x \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $z = x - y$ 的取值范围为（）

A、 $[-8 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $[- 3 ， 8]$ D、 $[- 8 ， 3]$

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7. $(1 + x^{2} - \frac{2}{x}) {(1 + x)}^{5}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、1 B、-9 C、31 D、-19

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8. 三棱锥 $P - A B C$ 的三视图如图所示， $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 在三视图中所对应的点分别为 $P^{'}$ ， $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ ，则 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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9. 已知点 $M$ 为双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右顶点，过 $M$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $A$ ， $B$ 分别在第一、第四象限内，且 $| M A | = 3 | M B |$ ，则 $l$ 的方程为（）

A、 $y = 2 \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3}$ B、 $y = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}$ C、 $y = \frac{5 \sqrt{3}}{3} x - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ D、 $y = - \frac{5 \sqrt{3}}{3} x + \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

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10. 设 $a = {log}_{3} 6$ ， $b = {log}_{5} 20$ ，则 ${log}_{2} 15 =$ （）

A、 $\frac{a + b - 3}{(a - 1) (b - 1)}$ B、 $\frac{a + b - 2}{(a - 1) (b - 1)}$ C、 $\frac{a + 2 b - 3}{(a - 1) (b - 1)}$ D、 $\frac{2 a + b - 3}{(a - 1) (b - 1)}$

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11. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ， $M$ 为 $C$ 上的动点， $N (0, \sqrt{2} b)$ ，若 $Δ M N F$ 的周长的最大值为 $(\sqrt{6} + 2) a$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12. 设正三棱锥 $P - A B C$ 的每个顶点都在半径为2的球 $O$ 的球面上，则三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{49 \sqrt{3}}{32}$ C、 $\frac{64 \sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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二、填空题

13. 已知向量 $a$ ， $b$ 的夹角为 $45^{\circ}$ ，且 $| a | = | b | = 2$ ，则 $a \cdot (a - \sqrt{2} b) =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 10, x > 2 \\ (3 - a) \cdot 3^{x}, x \leq 2 \end{array}$ ，在 $R$ 上是单调函数，则 $a$ 的取值范围为．

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15. 设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 n$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则数列 ${\frac{a_{n} + 1}{S_{n} S_{n} + 1}}$ 的前9项和 $T_{9} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调，且 $f (0) = f (\frac{5 π}{6}) = - f (\frac{π}{3})$ ，则正数 $ω$ 的值为．

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三、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} C -$ ${sin}^{2} B + sin A sin C = 0$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $\frac{a}{c} = \frac{3}{2}$ ，求 $tan C$ .

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $B E / / D F$ ，且 $A B = B E =$ $D F = \frac{\sqrt{2}}{2} E C$ ， $A B ⊥$ 平面 $B C E$ .

(1)、证明：平面 $A E C ⊥$ 平面 $B D F E$ ；

(2)、求二面角 $A - F C - D$ 的余弦值.

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19. 某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：

每月完成合格产品的件数（单位：百件）	$[26 ， 28)$	$[28 ， 30)$	$[30 ， 32)$	$[32 ， 34)$	$[34 ， 36]$
频数	10	45	35	6	4
男员工人数	7	23	18	1	1

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

(1)、其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？

	非“生产能手”	“生产能手”	合计
男员工
女员工
合计

(2)、为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出

(0 ， 200]

件的部分，累进计件单价为1.2元；超出

(200 ， 400]

件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.

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20. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，点 $F$ 为 $C$ 的焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、设 $A$ ， $B$ 在 $C$ 的准线上的射影分别为 $P$ ， $Q$ ，线段 $P Q$ 的中点为 $R$ ，证明： $A R / / F Q$ .

(2)、在 $x$ 轴上是否存在一点 $T$ ，使得直线 $A T$ ， $B T$ 的斜率之和为定值？若存在，求出点 $T$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} - x + a ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，令 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} x^{2}$ $- (a - 1) x - \frac{a}{x}$ ，若 $\exists a \in R$ ， $g (x_{1}) + g (x_{2})$ $> t (x_{1} + x_{2})$ ，求 $t$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 2 m ρ cos θ$ $+ 4 ρ sin θ = 1 - 2 m$ .

(1)、求 $C$ 的直角坐标方程，并求 $C$ 的半径；

(2)、当 $C$ 的半径最小时，曲线 $y = \sqrt{3} | x - 1 | - 2$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $M (1, - 4)$ ，求 $Δ M A B$ 的面积.

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23. 设函数 $f (x) = | x - 1 | + | | x | - 1 |$ .

(1)、画出 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、若过点 $A (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与 $y = f (x)$ 的图象恰有4个交点，求 $l$ 斜率的取值范围.

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