河北衡水金卷2019届高三文数12月第三次联合质量测评试卷

试卷更新日期：2019-11-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $z (1 + i) = 2 - i$ ，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | \log_{2} (x - 2) < 1}, B = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0} ，则 (C_{U} A)$ $\cap B$ 为（）

A、 $\emptyset$ B、 ${x | - 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | - 4 < x < 3}$ D、 ${x | - 4 < x \leq 2}$

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3. 若命题p为： $\forall x \in [1, + \infty), sin x + cos x \leq \sqrt{2} ，则 \neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in [1, + \infty), sin x + cos x > \sqrt{2}$ B、 $\exists x \in [- \infty, 1), sin x + cos x > \sqrt{2}$ C、 $\exists x \in [1, + \infty), sin x + cos x > \sqrt{2}$ D、 $\forall x \in (- \infty, 1), sin x + cos x \leq \sqrt{2}$

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4. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为（）

A、14 B、16 C、18 D、20

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5. 若线段AB的长为3，在AB上任意取一点C，则以AC为直径的圆的面积不超过 $\frac{\sqrt{3} π}{4}$ 的概率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{{}^{4}{\sqrt{3}}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{{}^{4}{\sqrt{3}}}{3}$

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6. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足：(1) $f (x + 1) = - 2 f (x),$ (2)当 $x \in [0, 2), f (x) = x^{2} - x + 1$ ，则有（）

A、 $f (- \frac{3}{2}) < f (- 1) < f (1)$ B、 $f (- 1) < f (- \frac{3}{2}) < f (1)$ C、 $f (- 1) < f (1) < f (- \frac{3}{2})$ D、 $f (1) < f (- 1) < f (- \frac{3}{2})$

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7. 某几何体 $A B P - A_{1} B_{1} P_{1}$ 的三视图如图所示，其中点 $P ， P_{1}$ 分别是几何体 $A B P - A_{1} B_{1} P_{1}$ 上下底面的一组对应顶点，打点器从P点开始到 $P_{1}$ 点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为（）

A、 $6 + 2 \sqrt{5}$ B、 $2 (\sqrt{15} + \sqrt{3})$ C、 $4 + 2 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{15} + \sqrt{3}$

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8. 已知向量 $a = (1 ， \sqrt{3}) ， b = (- \frac{1}{2} ， x) ，若 a 与 b$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $0 或 \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ 过右焦点的直线 $l : x + y = c$ 在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P，与y轴正半轴交于点Q，且点P为 $Q F_{2}$ 的中点， $Δ Q F_{1} F_{2}$ 的面积为4，则双曲线E的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} 中， A A_{1} = A D = 2 \sqrt{2}, A_{1} B$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成的角为 $α$ ，则 $α$ 的取值区间为（）

A、 $(0, \frac{π}{6})$ B、 $(0, \frac{π}{4})$ C、 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ D、 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$

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11. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 相交于点M，N，过点 $P (- 1, 0)$ 的直线与抛物线E相切于M，N点，设椭圆的右顶点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (0 < ω \leq 3 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 对 $x \in R ， f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) |$ 恒成立，且 $x = - \frac{π}{12}$ 为函数 $f (x)$ 的一个零点，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得函数 $g (x)$ 的图象，则方程 $e^{x} g (x) + 1 = 0 ， x \in (- 4 ， 4)$ 的解的个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、填空题

13. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y + 2 \geq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ - 2 x + y + 2 \geq 0 ， \end{matrix} 则 z = 3 x - 2 y$ 的最小值为．

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14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且有 $a = 1 ， \sqrt{3} sin A cos C +$ $(\sqrt{3} sin C + b) cos A = 0 ，则 A =$ ．

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右顶点为A，上顶点为B，点C为(2，5)，则过点A，B，C的圆的标准方程为．

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16. 定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = cos x$ ，又当 $x \leq 0$ 时， $f^{'} (x) \geq \frac{1}{2}$ 成立，若 $f (t) \geq f (\frac{π}{2} - t) + \frac{\sqrt{2}}{2} cos (t + \frac{π}{4})$ ，则实数t的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $S_{2} = 6, S_{4} = 30$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {log}_{2} a_{n}$ ，已知数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，试证明： $T_{n} < 1$ 恒成立．

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18. 随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：

(1)、假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记 $x$ 表示总收入，y表示应纳的税，试写出调整前后y关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；

(3)、小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？

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19. 如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} 中， A B = B C = 2 ， A C = C C_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，其中P为棱 $C C_{1}$ 上的任意一点，设平面PAB与平面 $A_{1} B_{1} C$ 的交线为QR．

(1)、求证：AB∥QR；

(2)、若P为棱 $C C_{1}$ 上的中点，求几何体 $Q R - A B C$ 的体积．

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20. 已知定点F(1，0)，定直线 $l : x = - 1$ ，动点M到点F的距离与到直线l的距离相等．

(1)、求动点M的轨迹方程；

(2)、设点 $P (- 1, T)$ ，过点F作一条斜率大于0的直线交轨迹M于A，B两点，分别连接PA，PB，若直线PA与直线PB不关于x轴对称，求实数t的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - ln (x + 1) - x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内有且只有一个零点．

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22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 1 + t c o s α, \\ y = 1 + t s i n α \end{matrix}$ (t为参数， $0 < α < π$ )，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{4}{1 + s i n^{2} θ}$ .

(1)、当 $a = \frac{π}{6}$ 时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (- 1, 1)$ ，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定 $| P A | \cdot | P B |$ 的取值范围．

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23. 设函数 $f (x) = | x - 2 | - | x + a |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) < - 2$ 的解集；

(2)、当 $x, y \in R 时， - 2 + f (y) \leq f (x) \leq 2 + f (y) ，求 a$ 的取值范围．

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