备考2020年高考数学一轮复习：69 不等式的证明

试卷更新日期：2019-11-05 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 设 $a = \sqrt{2} ， b = \sqrt{7} - \sqrt{3} ， c = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ ，则 $a ， b ， c$ 间的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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2. 已知数列{a_n}的通项公式a_n=ln(1+（ $\frac{2}{3}$ ）ⁿ)，其前n项和为S_n ，且S_n<m对任意正整数n均成立，则正整数m的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3. 设 $a, b \in R$ ，现给出下列五个条件：① $a + b = 2;$ ② $a + b > 2;$ ③ $a + b > - 2;$ ④ $a b > 1;$ ⑤ ${log}_{a} b < 0$ ，其中能推出：“ $a, b$ 中至少有一个大于 $1$ ”的条件为（）

A、②③④ B、②③④⑤ C、①②③⑤ D、②⑤

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二、解答题

4. 已知 $a, b, c \in R$ ,且 $a + b + c = 1$ .证明：
（Ⅰ） $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$ ；

（Ⅱ） $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq 1$ .

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5.

(1)、当 $x > 1$ 时，求证： $2 x^{2} + \frac{1}{x^{2}} > 2 x + \frac{1}{x} > 2 \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ ；

(2)、若 $a < e$ ，用反证法证明：函数 $f (x) = x e^{x} - a x^{2}$ （ $x > 0$ ）无零点.

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6. 设 $a, b, c > 0$ ，且 $a b + b c + c a = 1$ .
求证：

(1)、 $a + b + c \geq \sqrt{3}$

(2)、 $\sqrt{\frac{a}{b c}} + \sqrt{\frac{b}{a c}} + \sqrt{\frac{c}{a b}} \geq \sqrt{3} (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})$ .

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7. [选修4-5：不等式选讲]
已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 2$ ，

求证：（Ⅰ） $a \sqrt{b} + b \sqrt{a} \leq 2$ ；

（Ⅱ） $2 \leq a^{2} + b^{2} < 16$ .

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8. 设函数f（x）=4x³+ $\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$ ，x∈[0，1]，证明：
（Ⅰ）f（x）≥1﹣2x+3x²；
（Ⅱ） $\frac{2}{3}$ ＜f（x）≤ $\frac{17}{4}$ ．

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9. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .

(1)、 $a + b \geq 2$

(2)、a²+a<2 与 b²+b<2 不可能同时成立．

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10. 设a ， b ， c ， d均为正数，且a + b = c + d ，证明：

(1)、若ab > cd；则 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ ；

(2)、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}$ 是 $| a - b | < | c - d |$ 的充要条件。

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11. 已知a＞0，b＞0，且a²+b²=1，证明：
（Ⅰ）4a²+b²≥9a²b²；

（Ⅱ）（a³+b³）²＜1．

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12. 已知 $a > 0, b > 0, 且 a \neq b, 求证： a^{3} + b^{3} > a^{2} b + a b^{2}$

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13. 已知a＞0，b＞0．

(1)、求证： $\frac{1}{a}$ + $\frac{2}{b}$ ≥ $\frac{8}{2 a + b}$ ；

(2)、若c＞0，求证：在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．

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14. 已知函数f（x）=a^x+ $\frac{x - 2}{x - 1}$ （a＞1），用反证法证明f（x）=0没有负实数根．

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15. 用分析法证明：已知a＞b＞0，求证 $\sqrt{a}$ ﹣ $\sqrt{b}$ ＜ $\sqrt{a - b}$ ．

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16. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 是正实数，且 $a < b$ ，求证： $\frac{a}{b}$ < $\frac{a + m}{b + m}$ ．

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17. 已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3，证明： $\frac{c^{2}}{a}$ + $\frac{a^{2}}{b}$ + $\frac{b^{2}}{c}$ ≥3．

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18. 设函数 $f (x) = | \frac{x}{2} + \frac{1}{2 a} | + | \frac{x}{2} - \frac{a}{2} | ， (a > 0)$ ．
（Ⅰ）证明：f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（6）＜5，求a的取值范围．

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