备考2020年高考数学一轮复习：66 坐标系

试卷更新日期：2019-11-05 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 在极坐标系中，已知点 $P (2 ， \frac{π}{6})$ ，则过点 $P$ 且平行于极轴的直线的方程是（）

A、 $ρ \sin θ = 1$ B、 $ρ \sin θ = \sqrt{3}$ C、 $ρ \cos θ = 1$ D、 $ρ \cos θ = \sqrt{3}$

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2. 在极坐标系中，设圆 $C ： ρ = 8 \sin θ$ 与直线 $l ： θ = \frac{π}{4} (ρ \in R)$ 交于 $A ， B$ 两点，则以线段 $A B$ 为直径的圆的极坐标方程为（）

A、 $ρ = 4 \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4})$ B、 $ρ = 4 \sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})$ C、 $ρ = 2 \sqrt{2} \cos (θ + \frac{π}{4})$ D、 $ρ = 2 \sqrt{2} \cos (θ - \frac{π}{4})$

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3. 在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程 $ρ^{2} = \frac{12}{3 \cos^{2} θ + 4 \sin^{2} θ}$ 经过直角坐标系下的伸缩变换 ${\begin{matrix} x^{'} = \frac{1}{2} x \\ y^{'} = \frac{\sqrt{3}}{3} y \end{matrix}$ 后，得到的曲线是（）．

A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、圆

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4. 已知圆的极坐标方程为 $P = 4 \sin (θ - \frac{π}{4})$ ，则其圆心坐标为（）

A、 $(2, \frac{π}{4})$ B、 $(2, \frac{3 π}{4})$ C、 $(2, - \frac{π}{4})$ D、 $(2, 0)$

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5. 过点（4，0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为（）

A、 $ρ \sin θ = 4$ B、 $ρ = 4 \sin θ$ C、 $ρ \cos θ = 4$ D、 $ρ = 4 \cos θ$

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6. 在同一平面直角坐标系中，将直线 $x - 2 y = 2$ 按 $φ$ ： ${\begin{array}{l} x^{'} = \frac{1}{2} x \\ y^{'} = 4 y \end{array}$ 变换后得到的直线为 $l$ ，若以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则直线 $l$ 的极坐标方程为（）

A、 $4 ρ \cos θ - ρ \sin θ = 4$ B、 $ρ \cos θ - 16 ρ \sin θ = 4$ C、 $ρ \cos θ - 4 ρ \sin θ = 4$ D、 $ρ \cos θ - 8 ρ \sin θ = 4$

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7. 在极坐标系中，O为极点，曲线ρ²cosθ=1与射线θ= $\frac{π}{3}$ 的交点为A，则|OA|=（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 在极坐标系中，点 $(2 ， \frac{π}{6})$ 到直线 $ρ sin (θ - \frac{π}{6}) = 1$ 的距离是 $($ $)$

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、1 D、2

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9. 过点（4，0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为（）

A、 $ρ sin θ = 4$ B、 $ρ = 4 sin θ$ C、 $ρ cos θ = 4$ D、 $ρ = 4 cos θ$

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10. 已知点P的极坐标是 $(1 ， π)$ ，则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是 $($ $)$

A、 $ρ = 1$ B、 $ρ = cos θ$ C、 $ρ = - \frac{1}{cos θ}$ D、 $ρ = \frac{1}{cos θ}$

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11. 在极坐标系中，圆 $ρ = 4 cos θ$ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）

A、 $θ = 0 (ρ \in R)$ 和 $ρ cos θ = 4$ B、 $θ = \frac{π}{2} (ρ \in R)$ 和 $ρ cos θ = 4$ C、 $θ = \frac{π}{2} (ρ \in R)$ 和 $ρ cos θ = 2$ D、 $θ = 0 (ρ \in R)$ 和 $ρ cos θ = 2$

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二、填空题

12. 直角坐标系下点 $(- 2, - 2)$ 的极坐标为 $(ρ > 0, θ \in [- π, π])$ .

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13. 在极坐标系中，圆 $ρ = - \cos θ$ 的垂直于极轴的两条切线方程为（用极坐标书写）.

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14. 若曲线 $ρ = 2 \sqrt{2}$ 上有 $m$ 个点到曲线 $ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，则 $m$ 的值为.

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15. 在以 $O$ 为极点的极坐标系中，圆 $ρ = 4 sin θ$ 和直线 $ρ sin θ = a$ 相交于 $A, B$ 两点．若 $Δ A O B$ 是等边三角形，则 $a$ 的值为．

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16. 已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ ，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{6}) = m$ ，若直线 $l$ 与曲线 $C$ 有且只有一个公共点，则实数 $m$ 的值为.

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17. 已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，点 $A$ 的极坐标为 $(2 \sqrt{2} ， \frac{7 π}{4})$ ，则点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为．

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三、解答题

18. [选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点 $M (ρ_{0} ， θ_{0}) (ρ_{0} > 0)$ 在曲线 $C ： ρ = 4 s i n θ$ 上，直线l过点 $A (4 ， 0)$ 且与 $O M$ 垂直，垂足为P.

(1)、当 $θ_{0} = \frac{π}{3}$ 时，求 $ρ_{0}$ 及l的极坐标方程；

(2)、当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

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19. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点 $O$ 务极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1} : ρ sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $C_{2} : ρ^{2} = s \frac{1}{3 - 4 {sin}^{2} θ}$

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的交点为 $M$ ， $N$ ，求以 $M N$ 为直径的圆与 $y$ 轴的交点坐标．

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20. 在极坐标系中，已知圆 $C$ 的方程为 $ρ = 2 sin θ$ ，直线 $l$ 的方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{3}) = a$ ．若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求实数 $a$ 的值．

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21. 已如直线 $C$ 的参数方程为（ ${\begin{matrix} x = - 1 + 2 c o s θ \\ y = 1 + 2 s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）.以原点 $O$ 为极点. $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程：

(2)、若直线 $l ： θ = α$ （ $α \in [0 ， π)$ ， $ρ \in R$ ）与曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，设线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，求 $| O M |$ 的最大值.

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22. ⊙ $O_{1}$ 和⊙ $O_{2}$ 的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ,ρ＝－4sinθ.

(1)、把⊙ $O_{1}$ 和⊙ $O_{2}$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、求经过⊙ $O_{1}$ ,⊙ $O_{2}$ 交点的直线的直角坐标方程.

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