备考2020年高考数学一轮复习：65 离散型随机变量的均值与方差（理科专用）

试卷更新日期：2019-11-05 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 从装有1个黑球，2个白球和2个红球的盒子里随机拿出2个小球，记拿到红球的个数为ξ，则E(ξ）为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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2. 若随机变量X的分布列：

X

0

1

P

0.2

m

已知随机变量 $Y = a X + b (a ， b \in R)$ 且 $E (Y) = 10$ ， $D (Y) = 4$ ，则a与b的值为（）

A、 $a = 10 ， b = 3$ B、 $a = 3 ， b = 10$ C、 $a = 5 ， b = 6$ D、 $a = 6 ， b = 5$

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3. 已知随机变量 $ξ_{i}$ 满足P（ $ξ_{i}$ =1）=p_i ， P（ $ξ_{i}$ =0）=1—p_i ， i=1，2.若0<p₁<p₂< $\frac{1}{2}$ ，则

A、 $E (ξ_{1})$ < $E (ξ_{2})$ ， $D (ξ_{1})$ < $D (ξ_{2})$ B、 $E (ξ_{1})$ < $E (ξ_{2})$ ， $D (ξ_{1})$ > $D (ξ_{2})$ C、 $E (ξ_{1})$ > $E (ξ_{2})$ ， $D (ξ_{1})$ < $D (ξ_{2})$ D、 $E (ξ_{1})$ > $E (ξ_{2})$ ， $D (ξ_{1})$ > $D (ξ_{2})$

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4. 已知离散型随机变量 $ξ$ 的分布如下，若随机变量 $η = 3 ξ + 1$ ，则 $η$ 的数学期望为（）

$ξ$

0

1

2

$P$

0.4

$2 k$

$k$

A、3.2 B、3.4 C、3.6 D、3.8

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5. 甲盒子装有3个红球，1个黄球，乙盒中装有1个红球，3个黄球，同时从甲乙两盒中取出i（i=1,2,3）个球交换，分别记甲乙两个盒子中红球个数的数学期望为E₁（i），E₂（i），则以下结论错误的是（）

A、E₁（1）＞E₂（1） B、E₁（2）=E₂（2） C、E₁（1）+E₂（1） =4 D、E₁（3）＜E₂（1）

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6. 若随机变量 $X ～ B (4 ， \frac{1}{2})$ ，则 $D (2 X + 1) =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、9

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7. 已知 $X \sim B (6, 0.6)$ ，则 $E (X) =$ （）

A、0.6 B、3.6 C、2.16 D、0.216

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8. 随机变量 $ξ$ 的分布列如下，且满足 $E (ξ) = 2$ ，则 $E (a ξ + b)$ 的值（）

$ξ$

1

2

3

$P$

$a$

$b$

$c$

A、0 B、1 C、2 D、无法确定，与 $a$ ， $b$ 有关

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9. 从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为 $ξ$ ，则数学期望 $E ξ =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、1 C、 $\frac{7}{5}$ D、2

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10. 已知离散型随机变量 $X$ 服从二项分布 $X \sim B (n ， p)$ ，且 $E (X) = 4$ ， $D (X) = q$ 则 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、4

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11. 有 $8$ 名学生，其中有 $5$ 名男生.从中选出 $4$ 名代表，选出的代表中男生人数为 $X$ ，则其数学期望为 $E (X) =$ （）

A、 $2$ B、 $2.5$ C、 $3$ D、 $3.5$

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12. 某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝（）

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

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二、填空题

13. 有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用 $ξ$ 表示取到次品的件数，则 $ξ = 1$ 的概率是； $E (ξ) =$ ．

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14. 已知一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的方差为 $\frac{1}{2}$ ，则数据2 $x_{1}$ ，2 $x_{2}$ ，2 $x_{3}$ ，2 $x_{4}$ ，2 $x_{5}$ 的方差为．

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15. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 $A = a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$ ，其中 $A$ 的各位数中 $a_{k} (k=2,3,4,5)$ 出现0的概率为 $\frac{1}{3}$ ，出现1的概率为 $\frac{2}{3}$ ，记 $X = a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ ，当程序运行一次时， $X$ 的数学期望 $E (X) =$ ．

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16. 已知随机变量ξ满足P(ξ=i）= $\frac{i}{6}$ （i=1，2，3），则E(ξ）=；D(ξ）= ．

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17. 已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为 $ς$ ，则 $ς = 1$ 的概率是；随机变量 $ς$ 期望是.

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三、解答题

18. 时下，租车自驾游已经比较流行了．某租车点的收费标准为：不超过 $2$ 天收费 $300$ 元，超过 $2$ 天的部分每天收费 $100$ 元（不足 $1$ 天按 $1$ 天计算）．甲、乙两人要到该租车点租车自驾到某景区游览，他们不超过 $2$ 天还车的概率分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{2}$ ， $2$ 天以上且不超过 $3$ 天还车的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{3}$ ，两人租车都不会超过 $4$ 天．

(1)、求甲所付租车费比乙多的概率；

(2)、设甲、乙两人所付的租车费之和为随机变量 $ξ$ ,求 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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19. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国

.

根据环保部门对某河流的每年污水排放量

X (

单位：吨

)

的历史统计数据，得到如下频率分布表：

污水量	$[230, 250)$	$[250, 270)$	$[270, 290)$	$[290, 310)$	$[310, 330)$	$[330, 350)$
频率	$0.3$	$0.44$	$0.15$	$0.1$	$0.005$	$0.005$

将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立．

（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量 $X \in [270, 310)$ 的概率；

（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当 $X \in [230, 270)$ 时，没有影响；当 $X \in [270, 310)$ 时，经济损失为10万元；当 $X \in [310, 350)$ 时，经济损失为60万元 $.$ 为减少损失，现有三种应对方案：

方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费 $3.8$ 万元；

方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；

方案三：不采取措施．

试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．

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20. 某工厂每月生产某种产品四件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为 $\frac{9}{10}$ ，已知生产一件合格品能盈利100万元，生产一件次品将会亏损50万元，假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响．

(1)、若该工厂制定了每月盈利额不低于250万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率；

(2)、求工厂每月盈利额 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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21. 在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手（1号至6号）登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位侯选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名．

(1)、求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率；

(2)、设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列和数学期望．

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22. 某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：
方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；

方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.

某医院准备一次性购买2台这种机器.为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：

维修次数

0

1

2

3

台数

5

10

20

15

以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记 $X$ 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.

（Ⅰ）求 $X$ 的分布列；

（Ⅱ）以方案一与方案二所需费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

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X	0	1
P	0.2	m

$ξ$	0	1	2
$P$	0.4	$2 k$	$k$

$ξ$	1	2	3
$P$	$a$	$b$	$c$

维修次数	0	1	2	3
台数	5	10	20	15