备考2020年高考数学一轮复习：63 离散型随机变量及其分布列（理科专用）

试卷更新日期：2019-11-05 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a( $\frac{1}{3}$ )ⁱ ， i＝1，2，3，则a的值为（）

A、1 B、 $\frac{9}{13}$ C、 $\frac{11}{13}$ D、 $\frac{27}{13}$

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2. 离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:

X=i

1

2

3

4

5

6

P(X=i)

0.20

0.10

0.x5

0.10

0.1y

0.20

则P $(\frac{3}{2} < X < \frac{11}{3})$ 等于（）

A、0.25 B、0.35 C、0.45 D、0.55

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3. 甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分。两人4局的得分情况如下：在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，则 $x$ 的取值不可能是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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4. 离散型随机变量X的概率分布列如下：则c等于（）

X

1

2

3

4

P

0.2

0.3

0.4

c

A、0.1 B、0.24 C、0.01 D、0.76

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5. 世界杯组委会预测2018俄罗斯世界杯中，巴西队获得名次可用随机变量 $X$ 表示， $X$ 的概率分布规律为 $P (X = n) = \frac{a}{n (n + 1)} ， (n = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，其中 $a$ 为常数，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 已知随机变量 $X$ 服从的分布列为
$X$
1
2
3
…
n
P
$\frac{k}{n}$
$\frac{k}{n}$
$\frac{k}{n}$
…
$\frac{k}{n}$
则 $k$ 的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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7. 下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是（）

A、将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和 B、某篮球运动员6次罚球中投进的球数 C、电视机的使用寿命 D、从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数

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8. 某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：
分数段
[60，65）
[65，70）
[70，75）
[75，80）
[80，85）
[85，90）
[90，95）
人数
1
3
6
6
2
1
1
若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为（）

A、70分 B、75分 C、80分 D、85分

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9. 某城市2016年的空气质量状况如下表所示：
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2016年空气质量达到良或优的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{180}$ C、 $\frac{1}{19}$ D、 $\frac{5}{9}$

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10. 袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 $ξ$ ，则 $ξ$ 所有可能取值的个数是（）

A、5 B、9 C、10 D、25

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11. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 $X$ 是一个随机变量，其分布列为 $P (X)$ ，则 $P (X = 4)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{220}$ B、 $\frac{27}{55}$ C、 $\frac{27}{220}$ D、 $\frac{21}{25}$

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12. 随机变量 $X$ 所有可能取值的集合是 ${- 2, 0, 3, 5}$ ，且 $P (X = - 2) = \frac{1}{4}$ ， $P (X = 3) = \frac{1}{2}, P (X = 5) = \frac{1}{12}$ ，则 $P (X = 0)$ 的值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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二、填空题

13. 随机变量ξ的取值为0，1，2，若 $P (ξ = 0) = \frac{1}{5} ， E (ξ) = 1$ ，则 $D (ξ) =$ .

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14. 设随机变量ξ的概率分布列为 $P (ξ = k) = \frac{c}{k + 1}$ （k＝0，1，2，3），则 $P (ξ = 2) =$ ．

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15. 已知随机变量X的分布列为P(X=i)= $\frac{i}{2 a}$ (i=1，2，3)，则P(X=2)=.

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16. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下表，又随机变量 $Y = 2 X + 3$ ，则 $Y$ 的均值是．

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17. 袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X＝ ${\begin{cases} 0 ，两球全红， \\ 1 ，两球非全红， \end{cases}$ 则X的分布列为．

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三、解答题

18. 从4名男生和2 名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 $X$ 表示所选3人中女生的人数．

(1)、求 $X$ 的分布列（结果用数字表示）；

(2)、求所选3个中最多有1名女生的概率．

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19. 某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得－1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其他不知道随意连线，将他的得分记作ξ.

(1)、求该观众得分ξ为负数的概率；

(2)、求ξ的分布列．

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20. 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为 $\frac{1}{6} ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{3}$ ；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0<p<1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X₁、X₂分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.

(1)、求X₁ ， X₂的概率分布和均值E(X₁)，E(X₂)；

(2)、当E(X₁)<E(X₂)时，求p的取值范围.

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21. 自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：

(1)、采用分层抽样的方式从年龄在 $[25 ， 35)$ 内的人中抽取 $10$ 人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？

(2)、在（1）中选出 $10$ 人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；

(3)、用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列。

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22. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按 1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}$ ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ；两人租车时间都不会超过四小时．

(1)、求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(2)、设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列．

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$X$	1	2	3	…	n
P	$\frac{k}{n}$	$\frac{k}{n}$	$\frac{k}{n}$	…	$\frac{k}{n}$

分数段	[60，65）	[65，70）	[70，75）	[75，80）	[80，85）	[85，90）	[90，95）
人数	1	3	6	6	2	1	1

X=i	1	2	3	4	5	6
P(X=i)	0.20	0.10	0.x5	0.10	0.1y	0.20

X	1	2	3	4
P	0.2	0.3	0.4	c