备考2020年高考数学一轮复习：59 二项式定理（理科专用）

试卷更新日期：2019-11-05 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 设复数 $x = \frac{2 i}{1 - i}$ （ $i$ 是虚数单位），则 $C_{2019}^{1} x + C_{2019}^{2} x^{2} + C_{2019}^{3} x^{3} + ... + C_{2019}^{2019} x^{2019} =$ （）

A、i B、 $- i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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2. ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中常数项为（）

A、 $- 160$ B、 $160$ C、 $- 240$ D、 $240$

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3. 若 ${(x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式中含 $x^{3}$ 项的系数是（）

A、792 B、-792 C、330 D、-330

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4. $(x^{2} + x + 2) {(\frac{1}{x^{2}} - 1)}^{5}$ 的展开式的常数项是（）

A、-3 B、-2 C、2 D、3

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5. $(1 + x^{2}) {(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式的常数项为（）

A、-160 B、-5 C、240 D、80

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6. 在（x-2)²⁰¹⁹的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为M，含x的偶次幂的项之和为N，则当x=-1时，M-N=（）

A、（-3）²⁰¹⁹ B、-1 C、1 D、3²⁰¹⁹

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7. 已知（1+x）（1-ax）⁵的展开式中x²的系数为 $- \frac{5}{8}$ ，则a=（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 若 ${(1 + m x)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ 且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{8} = 255$ ，则实数m的值为（）

A、1或﹣3 B、﹣1 C、﹣3 D、1

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9. 设 $a \in Z$ ，且 $0 \leq a < 100$ ，若 $91^{92} + a$ 能被100整除，则 $a$ 等于（）

A、19 B、91 C、18 D、81

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10. 若二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中各项的系数和为 $32$ ，则该展开式中含 $x$ 项的系数为（）

A、 $1$ B、 $5$ C、 $10$ D、 $20$

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二、填空题

11. 在 ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中，常数项等于．

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12. 在二项式（ $\sqrt{2}$ +x）⁹的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是

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13. ${(2 x - \frac{1}{8 x^{3}})}^{8}$ 是展开式中的常数项为.

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14. 已知 ${(x - m)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{7} x^{7}$ 的展开式中 $x^{4}$ 项的系数是-35，则 $a_{1} + a_{2} + ... + a_{7} =$ .

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15. 已知 ${(a x + 1)}^{n}$ 的展开式中，二项式系数和为 $32$ ，各项系数和为 $243$ ，则 $a =$ ．

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16. 若 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式中含 $\frac{1}{x^{2}}$ 项的系数与含 $\frac{1}{x^{4}}$ 项的系数之比为-4，则 $n =$ ．

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17. “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为.

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三、解答题

18. 已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为 $m$ .
（I）求 $m$ 的值；

（II）求 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{\frac{3 m}{4}}$ 的展开式中的常数项.

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19. 已知 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{3 x^{2}})}^{n}$ 的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是 $14 : 3$ .

(1)、求 $n$ ；

(2)、求展开式中有理项．

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20. 已知 ${(\sqrt[4]{\frac{1}{x}} + \sqrt[3]{x^{2}})}^{n}$ 展开式中的倒数第三项的系数为45，
求：

(1)、含 $x^{3}$ 的项；

(2)、系数最大的项．

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21. 已知 ${(\sqrt{x} - \frac{3}{x^{2}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 $9 ∶ 1$ ．
（Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和；

（Ⅱ）求展开式中中间项．

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22. 若 ${(2 x - a)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ，且 $a_{4} = - 560$ .
（Ⅰ）求实数 $a$ 的值;

（Ⅱ）求 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{7}}{2^{6}}$ 的值.

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