备考2020年高考数学一轮复习：56 变量间的相关关系与统计案例

试卷更新日期：2019-11-05 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知具有线性相关关系的两个变量 $x$ ， $y$ 的一组数据如下表：

$x$

2

4

5

6

8

$y$

20

40

60

70

80

根据上表，利用最小二乘法得到 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 10 .5 x + a$ ，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、1.5 C、2 D、2.5

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2. 在一组样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n}) (n \geq 2, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 不全相等 $)$ 的散点图中，若所有样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ 都在直线 $y = 3 x + 1$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A、3 B、0 C、 $- 1$ D、1

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3. 某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温x（℃）

18

13

10

-1

用电量（度）

24

34

38

64

由表中数据得线性回归方程 $\hat{y} = - 2 x + a$ ，预测当气温为-4℃时用电量度数为（）

A、68 B、67 C、65 D、64

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4. 在一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，…， $(x_{n}, y_{n})$ （ $n ⩾ 2$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ … $x_{n}$ 不全相等）的散点图中，若所有样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ 都在直线 $y= - 3 x+ 1$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A、-3 B、0 C、-1 D、1

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5. 已知下表为 $x$ 与 $y$ 之间的一组数据，若 $y$ 与 $x$ 线性相关，则 $y$ 与 $x$ 的回归直线 $y = b x + a$ 必过点（）

x

0

1

2

3

y

1

3

5

7

A、(2，2) B、(1.5，0) C、(1，2) D、(1.5，4)

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6. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下

零件数 $x$ （个）

2

3

4

5

加工时间 $y$ （分钟）

26

$a$

49

54

根据上表可得回归方程 $\hat{y} = 9.4 x + 9.1$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、37.3 B、38 C、39 D、39.5

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7. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入 $x$ （万元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出 $y$ （万元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = 0.76, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）

A、11.4万元 B、11.8万元 C、12.0万元 D、12.2万元

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8. 某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

x

$1.99$

3

4

$5.1$

$6.12$

y

$1.5$

$4.04$

$7.5$

12

$18.01$

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是 $($ $)$

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ C、 $y = l o g_{2} x$ D、 $y = \frac{1}{2} (x^{2} - 1)$

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9. 某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用

2 \times 2

列联表，由计算得

K^{2} \approx 7.218

，参照下表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.01	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

得到正确结论是（）

A、有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关” B、有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关” C、在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关” D、在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”

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10. 某医疗机构通过抽样调查(样本容量n=1000)，利用2×2列联表和 $χ^{2}$ 统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得 $χ^{2} = 4.453$ ，经查阅临界值表知 $P (χ^{2} ⩾ 3.841) \approx 0.05$ ，下列结论正确的是（）

$P (K^{2} ⩾ k)$

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

A、在100个吸烟的人中约有95个人患肺病 B、若某人吸烟，那么他有 $95 %$ 的可能性患肺病 C、有 $95 %$ 的把握认为“患肺病与吸烟有关” D、只有 $5 %$ 的把握认为“患肺病与吸烟有关”

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11. 在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（）

A、y＝a+bx B、y＝c+d $\sqrt{x}$ C、y＝m+nx² D、y＝p+qe^x（q＞0）

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12. 调查研究某项运动与性别是否有关系得到列联表如图，若这两个变量没有关系，则

a

的可能值为（）

	男性	女性	合计
爱好运动	100	a	100+a
不爱好运动	120	600	720
合计	220	600+a	820+a

A、720 B、500 C、300 D、200

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二、填空题

13. 已知具有线性相关关系的两个量 $x, y$ 之间的一组数据如表：

$x$

0

1

2

3

4

$y$

2.2

4.3

4.5

$m$

6.7

且回直线方程是 $\overset{\land}{y} = 0.95 x + 2.6$ ，则 $m$ 的值为．

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14. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表），

零件数 $x$ 个

10

20

30

40

50

加工时间 $y (\min)$

62

75

81

89

由最小二乘法求得回归直线方程 $\hat{y} = 0.6 x + 54$ .由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为

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15. 在一次独立试验中，有200人按性别和是否色弱分类如下表（单位：人）

男

女

正常

73

117

色弱

7

3

你能在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否色弱与性别有关”？

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16. 某单位为了了解用电量 $y$ 度与气温 $x^{\circ} C$ 之间的关系，随机统计了某 $4$ 天的用电量与当天气温.

气温（℃）

14

12

8

6

用电量（度）

22

26

34

38

由表中数据得回归直线方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{b} x + \overset{\land}{a}$ 中 $\overset{\land}{b} = - 2$ ，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为.

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17. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用 $2 \times 2$ 列联表进行独立性检验，经计算 $K^{2} = 7.069$ ，则至少有的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.10

0.05

0.01

0.005

0.001

$k$

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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三、解答题

18. 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意

不满意

男顾客

40

10

女顾客

30

20

(1)、分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)、能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K²⁼ $\frac{m {(a d - b c)}^{2}}{（ a+b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P（K²≧k） 0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

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19. 为了了解我市特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：

年份 $x$

2014

2015

2016

2017

2018

特色学校 $y$ （百个）

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

（Ⅰ）根据上表数据，计算 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ ，并说明 $y$ 与 $x$ 的线性相关性强弱（已知： $0.75 \leq | r | \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性很强； $0.3 \leq | r | \leq 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性一般； $| r | \leq 0.25$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性较弱）；

（Ⅱ）求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测我市2019年特色学校的个数（精确到个）．

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10$ ， $\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 1.3$ ， $\sqrt{13} \approx 3.6056$ ， $\overset{⇀}{B F} = (0, - \sqrt{2})$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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20. 目前，学案导学模式已经成为教学中不可或缺的一部分，为了了解学案的合理使用是否对学生的期末复习有着重要的影响某校随机抽取200名学生，对学习成绩和学案使用程度进行了调查，统计数据如下表所示：

	善于使用学案	不善于使用学案	合计
学习成绩优秀	40
学习成绩一般		30
合计			200

已知随机抽查这200名学生中的一名学生，抽到善于使用学案的学生概率是0.6.

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) {(a + c)}^{'} (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（I）完成 $2 \times 2$ 列联表（不用写计算过程）；

（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析有多大的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关？

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21. 2019年5月5日6时许，桂林市雁山区一出租房发生一起重大火灾，事故发生后，附近消防员及时赶到，控制住火情，将灾难损失降到了最低．某保险公司统计的数据表明：居民住宅区到最近消防站的距离

x

(单位：千米)和火灾所造成的损失数额

y

(单位：千元)有如下的统计资料：

距消防站距离 $x$ （千米）	1.8	2.6	3.1	4.3	5.5	6.1
火灾损失费用 $y$ （千元）	17.8	19.6	27.5	31.3	36.0	43.2

如果统计资料表明 $y$ 与 $x$ 有线性相关关系，试求(解答过程中，各种数据都精确到0.01)

（I）相关系数 $r$ ；

（Ⅱ）线性回归方程；

（Ⅲ）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失．

参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 764.36$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 80.30$ $\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 14.30$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (y_{i} - \bar{y})^{2} \approx 471.65$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sum_{i = 1}^{6} (y_{i} - \bar{y})^{2}} \approx 82.13$

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - \bar{y})^{2}}}$

回归方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{a} + \overset{\land}{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \bar{x}$ ．

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22. 某百货公司1～6月份的销售量

x

与利润

y

的统计数据如下表：

月份	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
销售量 $x$ （万件）	$10$	$11$	$13$	$12$	$8$	$6$
利润 $y$ （万元）	$22$	$25$	$29$	$26$	$16$	$12$

(1)、根据2至5月份的数据，画出散点图求出

y

关于

x

的回归直线方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

(2)、若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过

2

万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？请说明理由.

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x i - \bar{x}) (y i - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x i - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x i y i - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \cdot \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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零件数 $x$ （个）	2	3	4	5
加工时间 $y$ （分钟）	26	$a$	49	54

收入 $x$ （万元）	8.2	8.6	10.0	11.3	11.9
支出 $y$ （万元）	6.2	7.5	8.0	8.5	9.8

年份 $x$	2014	2015	2016	2017	2018
特色学校 $y$ （百个）	0.30	0.60	1.00	1.40	1.70

气温x（℃）	18	13	10	-1
用电量（度）	24	34	38	64

x	$1.99$	3	4	$5.1$	$6.12$
y	$1.5$	$4.04$	$7.5$	12	$18.01$

$x$	0	1	2	3	4
$y$	2.2	4.3	4.5	$m$	6.7

	男	女
正常	73	117
色弱	7	3