江苏省扬州市江都区八校2020届九年级上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2019-11-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列方程中，是一元二次方程的为（）

A、 $3 x^{2} - 6 x y + 2 = 0$ B、 $x^{2} - 5 = - 2 x$ C、 $x^{2} + 3 x - 1 = x^{2}$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 0$

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2. 已知OA=4cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（）

A、2cm B、3cm C、4cm D、5cm

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3. 方程x²﹣5x=0的解是( )

A、x₁=0，x₂=﹣5 B、x=5 C、x₁=0，x₂=5 D、x=0

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4. 下列说法中，不正确的是（　　）

A、过圆心的弦是圆的直径 B、等弧的长度一定相等 C、周长相等的两个圆是等圆 D、同一条弦所对的两条弧一定是等弧

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5. 如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为（）

A、2 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{13}$

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6. 一元二次方程x²﹣kx﹣1=0的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断

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7. 下列命题中，真命题的个数是（）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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8. 定义：如果一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 满足 $a + b + c = 0$ ，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）

A、 $a = b$ B、 $a = c$ C、 $b = c$ D、 $a = b = c$

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二、填空题

9. 方程 $x^{2} - 1 = 0$ 的解为。

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10. 已知x＝2是方程 $x^{2} + m x + 2 = 0$ 的一个根，则m的值是．

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11. 已知一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} - 4 x_{1} + x_{1} x_{2} =$ .

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12. 如图，点C是⊙O的直径AB上一点，CD⊥AB，交⊙O于D，已知CD=2，OC=1，则AB的长是.

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13. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．

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14. 已知点P为平面内一点，若点P 到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O 的半径为．

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15. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的一个根，则菱形ABCD的周长为．

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16. 若实数a、b满足 $(a + b) (a + b - 2) - 8 = 0$ ，则 $a + b =$ ．

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17. 直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是.

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18. 已知关于实数x的代数式 $x^{2} (4 - x^{2})$ 有最大值，则实数x的值为时，代数式取得最大值4.

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三、解答题

19. 解下列方程:

(1)、 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ （用配方法）

(2)、 $2 {(x - 3)}^{2} = x (x - 3)$

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20. 已知：关于 $x$ 的方程 $2 x^{2} + k x - 1 = 0$ .

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根.

(2)、若方程的一个根是 $- 1$ ，求另一个根及 $k$ 值.

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21. 在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x²+（b+2）x+6﹣b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $A$ 的坐标为（ $0$ ， $7$ ），点 $B$ 的坐标为（ $0$ ， $3$ ），点C的坐标为（ $3$ ， $0$ ）.

(1)、在图中作出 $Δ A B C$ 的外接圆(利用格图确定圆心)；

(2)、圆心坐标为；外接圆半径 $r$ 为；

(3)、若在 $x$ 轴的正半轴上有一点 $D$ ，且 $∠ A D B = ∠ A C B$ ，则点 $D$ 的坐标为.

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23. 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

(1)、求每个月生产成本的下降率；

(2)、请你预测4月份该公司的生产成本．

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24. 已知在以点 $O$ 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点 $C$ 、 $D$ .

(1)、求证： $A C = B D$ ；

(2)、若大圆的半径 $R = 8$ ，小圆的半径 $r = 6$ ，且圆心 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为 $4$ ，求 $A C$ 的长.

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25. 如图， $D$ 是 $Δ A B C$ 的边 $B C$ 的中点，过 $A D$ 延长线上的点 $E$ 作 $A D$ 的垂线 $E F$ ， $E$ 为垂足， $E F$ 与 $A B$ 的延长线相交于点 $F$ ，点 $O$ 在 $A D$ 上， $A O = C O$ ， $B C$ ∥ $E F$ .

(1)、证明： $A B = A C$ ；

(2)、证明：点 $O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆的圆心；

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26. 阅读下列材料：
（ 1 ）关于x的方程x²﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以 $\frac{1}{x}$ 得：x-3+ $\frac{1}{x}$ =0即x+ $\frac{1}{x}$ =3， ${(x + \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \times x \times \frac{1}{x} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$ ， $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7$ .

（ 2 ）a³+b³=（a+b）（a²﹣ab+b²）；a³﹣b³=（a﹣b）（a²+ab+b²）.

根据以上材料，解答下列问题：

(1)、x²﹣4x+1=0（x≠0），则x+ $\frac{1}{x}$ =1 ， $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ = ， $x 4 + \frac{1}{x^{4}}$ =；

(2)、2x²﹣7x+2=0（x≠0），求 $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ 的值.

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27. 如图，已知等边 $△ A B C$ 的边长为8，点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)，直线 $l$ 是经过点P的一条直线，把 $△ A B C$ 沿直线 $l$ 折叠，点B的对应点是点 $B'$ .

(1)、如图1，当 $P B = 4$ 时，若点 $B'$ 恰好在AC边上，则 $A B'$ 的长度为；

(2)、如图2，当 $P B = 5$ 时，若直线 $l ∥ A C$ ，则 $B B'$ 的长度为；

(3)、如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线 $l$ 始终垂直于AC， $△ A C B'$ 的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；

(4)、当 $P B = 6$ 时，在直线 $l$ 变化过程中，求 $△ A C B'$ 面积的最大值.

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