甘肃省2019年中考数学试卷

试卷更新日期：2019-11-04 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在0，2，﹣3，﹣ $\frac{1}{2}$ 这四个数中，最小的数是（）

A、0 B、2 C、﹣3 D、﹣ $\frac{1}{2}$

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3. 使得式子 $\frac{x}{\sqrt{4 - x}}$ 有意义的x的取值范围是（）

A、x≥4 B、x＞4 C、x≤4 D、x＜4

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4. 计算（﹣2a）²•a⁴的结果是（）

A、﹣4a⁶ B、4a⁶ C、﹣2a⁶ D、﹣4a⁸

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5. 如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（）

A、48° B、78° C、92° D、102°

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6. 已知点 $P (m + 2 ， 2 m ﹣ 4)$ 在 $x$ 轴上，则点 $P$ 的坐标是（）

A、 $(4 ， 0)$ B、 $(0 ， 4)$ C、 $(- 4 ， 0)$ D、 $(0, - 4)$

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7. 若一元二次方程x²﹣2kx+k²＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）

A、﹣1 B、0 C、1或﹣1 D、2或0

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8. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）

A、54° B、64° C、27° D、37°

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9. 甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（）

参加人数

平均数

中位数

方差

甲

45

94

93

5.3

乙

45

94

95

4.8

A、甲、乙两班的平均水平相同 B、甲、乙两班竞赛成绩的众数相同 C、甲班的成绩比乙班的成绩稳定 D、甲班成绩优异的人数比乙班多

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10. 如图是二次函数y＝ax²+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b² ， ④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、③④⑤

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二、填空题

11. 分解因式：x³y﹣4xy= ．

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12. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 - x ⩾ 0 \\ 2 x > x - 1 \end{array}$ 的最小整数解是.

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13. 分式方程 $\frac{3}{x + 1} = \frac{5}{x + 2}$ 的解为.

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14. 在△ABC中∠C＝90°，tanA＝ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则cosB＝.

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15. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为.

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16. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为.

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17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为．

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18. 如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝.

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三、解答题

19. 计算：（﹣ $\frac{1}{2}$ ）^﹣²+（2019﹣π）⁰﹣ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ tan60°﹣|﹣3|.

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20. 如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）

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21. 中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？

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22. 为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）.如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定.（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）

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23. 在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n.

(1)、请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；

(2)、若m，n都是方程x²﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x²﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？

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24. 良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质.某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：

收集数据：从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：

七年级：748175767075757981707480916982

八年级：819483778380817081737882807050

整理数据：

年级	x＜60	60≤x＜80	80≤x＜90	90≤x≤100
七年级	0	10	4	1
八年级	1	5	8	1

（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）

分析数据：

年级	平均数	中位数	众数
七年级		75	75
八年级	77.5	80

得出结论：

(1)、根据上述数据，将表格补充完整；

(2)、可以推断出几年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；

(3)、若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数.

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25. 如图，一次函数 $y ＝ k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于 $A (﹣ 1 ， n) 、$ $B (2 ， ﹣ 1)$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ .

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、若点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，求 $Δ A B D$ 的面积；

(3)、若 $M (x_{1} ， y_{1}) 、 N (x_{2} ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 上的两点，当 $x_{1} < x_{2} < 0$ 时，比 $y_{2}$ 与 $y_{1}$ 的大小关系.

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26. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，连接 $D E$ ，过点 $A$ 作 $A G ⊥ E D$ 交 $D E$ 于点 $F$ ，交 $C D$ 于点 $G$ .

(1)、证明： $Δ A D G ≌ Δ D C E$ ；

(2)、连接 $B F$ ，证明： $A B ＝ F B$ .

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27. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C ＝ 90^{°}$ ，以 $B C$ 为直径的⊙ $O$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，切线 $D E$ 交 $A C$ 于点 $E$ .

(1)、求证： $∠ A ＝ ∠ A D E$ ；

(2)、若 $A D ＝ 8 ， D E ＝ 5$ ，求 $B C$ 的长.

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28. 如图，已知二次函数y＝x²+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C.

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；

(3)、点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.

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	参加人数	平均数	中位数	方差
甲	45	94	93	5.3
乙	45	94	95	4.8