2017年山西省晋中市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）

试卷更新日期：2017-07-13 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设全集U是实数集R，已知集合A={x|x²＞2x}，B={x|log₂（x﹣1）≤0}，则（∁_UA）∩B=（）

A、{x|1＜x＜2} B、{x|1≤x＜2} C、{x|1＜x≤2} D、{x|1≤x≤2}

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2. 已知复数z满足 $\frac{z}{1 + i} = | 2 - i |$ ，则z的共轭复数对应的点位于复平面内的（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知数列{a_n}为等比数列，且a₁a₁₃+2a₇²=5π，则cos（a₂a₁₂）的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积．意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（图中的网格纸中的小正方形的边长为1）（）

A、4 B、8 C、16 D、20

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5. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是a=（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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6. 将函数f（x）=2sin（ωx+ $\frac{π}{4}$ ）（ω＞0）的图象向右平移 $\frac{π}{4 ω}$ 个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[﹣ $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{3}$ ]上为增函数，则ω的最大值为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{4}$

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7. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} x - y + 2 \geq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \\ 2 x - y - 5 \leq 0 \end{matrix}$ ，若使得目标函数z=ax+y取最大值的最优解有无数个，则实数a的值是（）

A、2 B、﹣2 C、1 D、﹣1

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8. 若圆C₁（x﹣m）²+（y﹣2n）²=m²+4n²+10（mn＞0）始终平分圆C₂：（x+1）²+（y+1）²=2的周长，则 $\frac{1}{m}$ + $\frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、9 C、6 D、3

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9. 下列命题中，真命题的个数为①对任意的a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件；②在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；③非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为锐角；④ $\frac{l n 3}{3} > \frac{l n 2}{2} > \frac{l n 5}{5}$ ．（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知x、y是[0，1]上的两个随机数，则点M（x，y）到点（0，1）的距离小于其到直线y=﹣1的距离的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{11}{12}$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若 $\frac{{| P F_{2} |}^{2}}{| P F_{1} | - | O A |}$ 存在最小值为12a，则双曲线一三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x l n x - 3 x ， x > 0 \\ x^{2} + \frac{3}{2} x ， x \leq 0 \end{matrix}$ 的图象上有且只有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在直线y=kx﹣1上，则实数k的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{7} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{3} ， 3)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(2 ， \frac{7}{2})$

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二、填空题

13. 已知数据x，y的取值如表：
x
1
2
3
4
5
y
13.2
m
14.2
15.4
16.4
从散点图可知，y与x呈线性相关关系，已知第四组数据在回归直线 $\hat{y} = 0.8 x + \hat{a}$ 上，则m的取值为．

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14. 在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x} + 1)}^{7}$ 的展开式中，x²的系数为．

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15. 在四边形ABCD中，AB=7，AC=6， $\cos ∠ B A C = \frac{11}{14}$ ，CD=6sin∠DAC，则BD的最大值为．

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16. 表面积为40π的球面上有四点S、A、B、C且△SAB是等边三角形，球心O到平面SAB的距离为 $\sqrt{2}$ ，若平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC体积的最大值为．

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三、解答题

17. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₃=7，S₄=24，数列{b_n}的前n项和T_n=n₂+a_n ．

(1)、求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{b_{n}}{2^{n}}}$ 的前n项和B_n ．

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18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l．

(1)、求证：l∥EF；

(2)、求PB与平面ABCD所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{21}}{21}$ ，求二面角P﹣AE﹣B的余弦值．

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19. 在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）
年龄
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
[65，75）
频数
10
30
30
20
5
5
赞成人数
8
25
24
10
2
1

(1)、若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
赞成
不赞成
合计

(2)、若从年龄在[55，65），[65，75）的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．
参考数据：
P（K²≥k₀）
0.025
0.010
0.005
0.001
k₀
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a+b+c+d．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点在直线l： $\sqrt{3}$ x﹣y﹣3=0上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为﹣ $\frac{1}{4}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线t经过点P（1，0），且与椭圆C有两个交点A，B，是否存在直线l₀：x=x₀（其中x₀＞2）使得A，B到l₀的距离d_A ， d_B满足 $\frac{d_{A}}{d_{B}} = \frac{| P A |}{| P B |}$ 恒成立？若存在，求出x₀的值，若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=2a²lnx﹣x² ， g（x）=﹣x²+2a³x+ $\frac{2 a^{2}}{x} ， (a > 0)$ ．

(1)、讨论函数f（x）在（1，e²）上零点的个数；

(2)、若h（x）=f（x）﹣g（x）有两个不同的零点x₁ ， x₂ ，求证：x₁•x₂＞2e² ．（参考数据：e取2.8，ln2取0.7， $\sqrt{2}$ 取1.4）

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：x+y﹣2=0，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₁：ρ=1，将曲线C₁上所有点的横坐标伸长为原来的 $2 \sqrt{2}$ 倍，纵坐标伸长为原来的2倍得到曲线C₂ ，又直线l与曲线C₂交于A，B两点．

(1)、求曲线C₂的直角坐标方程；

(2)、设定点P（2，0），求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知a＞0，b＞0，c＞0函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c．

(1)、当a=b=c=1时，求不等式f（x）＞5的解集；

(2)、若f（x）的最小值为5时，求a+b+c的值，并求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ 的最小值．

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年龄	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	10	30	30	20	5	5
赞成人数	8	25	24	10	2	1

	年龄不低于45岁的人数	年龄低于45岁的人数	合计
赞成
不赞成
合计

P（K²≥k₀）	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	3.841	6.635	7.879	10.828

x	1	2	3	4	5
y	13.2	m	14.2	15.4	16.4