备考2020年高考数学一轮复习：52 曲线与方程（理科专用）

试卷更新日期：2019-11-01 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 平面内，到两定点 $F_{1} (- 3 ， 0)$ 、 $F_{2} (3 ， 0)$ 的距离之差的绝对值等于 $6$ 的点 $M$ 的轨迹是（）

A、椭圆 B、线段 C、双曲线 D、两条射线

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2. 动圆M与定圆C：x²＋y²＋4x＝0相外切，且与直线l：x－2＝0相切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（）

A、y²－12x＋12＝0 B、y²＋12x－12＝0 C、y²＋8x＝0 D、y²－8x＝0

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3. 直角坐标系 $x O y$ 中，已知两点 $A (2 ， 1)$ ， $B (4 ， 5)$ ，点 $C$ 满足 $\vec{O C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，其中 $λ 、 μ \in R$ ，且 $λ + μ = 1$ ．则点 $C$ 的轨迹方程为（）

A、 $y = 2 x - 3$ B、 $y = x + 1$ C、 $x + 2 y = 9$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$

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4. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ，定点 $M$ 在棱 $A B$ 上(不在端点 $A ， B$ 上)，点 $P$ 是平面 $A B C D$ 内的动点，且点 $P$ 到直线 $A_{1} D_{1}$ 的距离与点 $P$ 到点 $M$ 的距离的平方差为 $a^{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹所在的曲线为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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5. 已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，直线 $P A ， P B$ 相交于点 $P$ ，且它们的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ .则动点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \neq \pm 2)$ B、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (y \neq \pm \sqrt{3})$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (y \neq \pm 2)$

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6. 若动点 $P (x ， y)$ 与两定点 $M (- a ， 0)$ ， $N (a ， 0)$ 的连线的斜率之积为常数 $k (k a \neq 0)$ ，则点 $P$ 的轨迹一定不可能是（）

A、除 $M ， N$ 两点外的圆 B、除 $M ， N$ 两点外的椭圆 C、除 $M ， N$ 两点外的双曲线 D、除 $M ， N$ 两点外的抛物线

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7. 以 $(a_{1} ， 0)$ ， $(a_{2} ， 0)$ 为圆心的两圆均过 $(1 ， 0)$ ，与轴正半轴分别交于 $(y_{1} ， 0)$ ， $(y_{2} ， 0)$ ，且满足 $\ln y_{1} + \ln y_{2} = 0$ ，则点 $(\frac{1}{a_{1}} ， \frac{1}{a_{2}})$ 的轨迹是（）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ，$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ ， $P$ 是椭圆上任意一点，从任一焦点引 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的外角平分线的垂线，垂足为 $Q$ ，则点 $Q$ 的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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9. 设 $O$ 为坐标原点，动点 $N$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} = 8$ 上，过 $N$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $M$ ，点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{M P} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{M N}$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

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10. 已知过点（0，1）的直线与圆x²+y²=4相交于A、B两点，若 $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O P}$ ，则点P的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1$ B、x²+（y﹣1）²=1 C、 $x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 2$ D、x²+（y﹣1）²=2

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11. 已知点A（3，0），B（﹣3，0），|AC|﹣|BC|=4，则点C轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{5}$ =1（x＜0） B、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{5}$ =1 C、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{5}$ =1（x＞0） D、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{5}$ =0（x＜0）

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二、填空题

12. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 及一点 $P (- 1 ， 0)$ ， $Q$ 在圆 $O$ 上运动一周， $P Q$ 的中点 $M$ 形成轨迹 $C$ 的方程为．

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13. 已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，M是椭圆上一动点， $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 是左、右两焦点，由 $F_{2}$ 向 $∠ F_{1} M F_{2}$ 的外角平分线作垂线，垂足为N，则N点的轨迹方程为.

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14. 已知BC是圆x²＋y²＝25的动弦且|BC|＝6，则BC的中点的轨迹方程是．

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15. 在平面直角坐标系中，A（a，0），D（0，b），a≠0，C（0，﹣2），∠CAB＝90°，D是AB的中点，当A在x轴上移动时，a与b满足的关系式为；点B的轨迹E的方程为．

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16. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P A | = λ | P B | (λ > 0)$ ，若点 $P$ 的轨迹为一条直线，则 $λ =$ ；若 $λ = 2$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为；

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17. 由动点 $P (x ， y)$ 引圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线 $P A ， P B$ ，切点分别为 $A ， B$ ，若 $∠ A P B = 90^{\circ}$ ，则 $P$ 点的轨迹方程是．

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三、解答题

18. 在△ABC中，已知|BC|=4，且 $\frac{| A B |}{| A C |} = λ$ ，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

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19. 已知点P与两个定点O(0,0),A(-3,0)距离之比为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求点P的轨迹C方程；

(2)、求过点M(2,3)且被轨迹C截得的线段长为2 $\sqrt{3}$ 的直线方程．

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20. 已知圆M： $x^{2} + y^{2} + 2 \sqrt{2} y - 10 = 0$ 和点 $N (0 ， \sqrt{2})$ ，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC的斜率分别是k₁ ， k₂ ，满足k₁•k₂=9，求△ABC面积的最大值．

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21. 已知动点M（x，y）到直线l：x=3的距离是它到点D（1，0）的距离的 $\sqrt{3}$ 倍．

(1)、求动点M的轨迹C的方程；

(2)、设轨迹C上一动点T满足： $\vec{O T}$ =2λ $\vec{O P}$ +3μ $\vec{O Q}$ ，其中P、Q是轨迹C上的点，且直线OP与OQ的斜率之积为﹣ $\frac{2}{3}$ ．若N（λ，μ）为一动点，F₁（﹣ $\frac{\sqrt{5}}{6}$ ，0）、F₂（ $\frac{\sqrt{5}}{6}$ ，0）为两定点，求|NF₁|+|NF₂|的值．

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