备考2020年高考数学一轮复习：51 抛物线

试卷更新日期：2019-11-01 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\frac{1}{8}, 0)$ B、 $(0, \frac{1}{8})$ C、 $(\frac{1}{2}, 0)$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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2. 若点 $P$ 为抛物线 $C : y = 2 x^{2}$ 上的动点， $F$ 为 $C$ 的焦点，则 $| P F |$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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3. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $y = 4$ 与 $C$ 的交点为 $P$ ，与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，且 $| P F | = \frac{3}{2} | P Q |$ ，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(2, 4)$ B、 $(2 \sqrt{2}, 4)$ C、 $(4, 4)$ D、 $(4 \sqrt{2}, 4)$

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4. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，以 $P F$ 为半径的圆 $P$ 与 $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若 $\overset{⇀}{O B} = 7 \overset{⇀}{O A}$ ，则圆 $P$ 的半径 $r =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且倾斜角为 $120^{°}$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $A F, B F$ 的中点在 $y$ 轴上的射影分别为 $M, N$ ，且 $| M, N | = 4 \sqrt{3}$ ，则抛物线 $C$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = - 2$ C、 $x = - \frac{3}{2}$ D、 $x = - 3$

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6. 椭圆C的焦点在 x 轴上，一个顶点是抛物线 $E : y^{2} = 12 x$ 的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且 $M F ⊥ x$ 轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则 $p =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 已知拋物线的焦点在直线 $3 x - y + 36 = 0$ 上,则抛物线的标准方程是（）

A、 $x^{2} = 144 y$ B、 $x^{2} = 72 y$ 或 $y^{2} = - 48 x$ C、 $x^{2} = 144 y$ 或 $y^{2} = - 48 x$ D、 $y^{2} = - 48 x$

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9. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的两个焦点， $P$ 在双曲线上，且满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ ，则 $Δ F_{1} P F_{2}$ 的面积是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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10. 一个动圆的圆心在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，且该动圆与直线l:x=-1相切，则这个动圆必过一个定点的坐标是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 0)$

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11. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 2 x$ 交于 $A ， B$ 两点，与抛物线的准线交于 $C ， D$ 两点，若四边形 $A B C D$ 是矩形，则 $r$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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12. 在直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $M$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{3} y = 0$ 相交于两点，且两点间的距离为 $\sqrt{6}$ ，则抛物线 $M$ 的焦点到其准线的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 D、 $\sqrt{6}$

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二、填空题

13. 已知抛物线 $(2 ， 0)$ 的焦点为 $F$ ，其准线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，点 $M$ 在抛物线 $C$ 上，当 $\frac{| M A |}{| M F |} = \sqrt{2}$ 时， $Δ A M F$ 的面积为．

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14. 已知F是抛物线C：y＝2x²的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x＝1，则|PF|＝．

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15. 已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上的动点，点 $P$ 在 $y$ 轴上射影是 $M$ ，点 $A (4 ， 6)$ ，则 $| P A | + | P M |$ 的最小值是．

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16. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F为椭圆 $\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右顶点，直线l是抛物线C的准线，点A在抛物线C上，过A作 $A B ⊥ l$ ，垂足为B ，若直线BF的斜率 $k_{B F} = - \sqrt{3}$ ，则 $△ A F B$ 的面积为．

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17. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，平行 $y$ 轴的直线 $l$ 与圆 $Γ ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 交于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的上方）， $l$ 与 $C$ 交于点 $D$ ，则 $Δ A D F$ 周长的取值范围是

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三、解答题

18. 已知抛物线Γ：x²=2py（p>0）的焦点为FR0，1），过F且斜率为的直线k₁与l₁交于才，B两点，斜率为k₂（k₂≠0）的直线l₂与Γ相切于点P，且l₂与l₁不垂直，Q为AB的中点。

(1)、若k₁= $\sqrt{3}$ ，求|AB|：

(2)、若直线PQ 过（0，2），求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$

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19. 已知拋物线C： $x^{2} = 2 p y$ 经过点 $P (2, 1)$ ，其焦点为F，M为抛物线上除了原点外的任一点，过M的直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点．
$($ Ⅰ $)$ 求抛物线C的方程以及焦点坐标；

$($ Ⅱ $)$ 若 $△ A M F$ 与 $△ A B F$ 的面积相等，证明直线l与抛物线C相切．

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20. 已知斜率为1的直线与抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点， $A B$ 中点的横坐标为2.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l : x = t (t \neq 0)$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，交抛物线 $C$ 于点 $P$ ， $M$ 关于点 $P$ 的对称点为 $N$ ，连接 $O N$ 并延长交 $C$ 于点 $H$ .除 $H$ 以外，直线 $M H$ 与 $C$ 是否有其它公共点？请说明理由.

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21. 已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上一点 $M (m, 9)$ 到其焦点下的距离为10.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设过焦点F的的直线 $l$ 与抛物线C交于 $A, B$ 两点，且抛物线在 $A, B$ 两点处的切线分别交x轴于 $P, Q$ 两点，求 $| A P | \cdot | B Q |$ 的取值范围.

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22. 已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交抛物线于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} < x_{2})$ 两点，且 $| A B | = 9$ .

(1)、求抛物线的方程；

(2)、 $O$ 为坐位原点， $C$ 为抛物线上一点，若 $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{O A} + λ \overset{⇀}{O B}$ ，求 $λ$ 的值.

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