备考2020年高考数学一轮复习：50 双曲线

试卷更新日期：2019-11-01 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2 $\sqrt{3}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、y＝± $\sqrt{2}$ x B、y＝±2x C、y＝± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ x D、y＝± $\frac{1}{2}$ x

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2. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则点 $(4, 0)$ 到 $C$ 的渐近线的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 设双曲的一个焦点为 $F$ ，虚轴的一个端点为 $B$ ，如果直线 $F B$ 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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4. 渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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5. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > 0, b > 0)$ ，直线 $y = b$ 与C的两条渐近线的交点分别为M，N，O为坐标原点．若 $△ O M N$ 为直角三角形，则C的离心率为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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6. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 为 $C$ 的一条渐近线上的点， $O$ 为坐标原点，若 $| P O | = | P F |$ ，则 $S_{Δ O P F}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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7. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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8. 如图所示，已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足∠AFB=120°，且|BF|=3|AF|，则双曲线C的离心率是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\sqrt{7}$

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9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作 $C$ 的渐近线的垂线，垂足为点 $P ， | P F_{1} | = \sqrt{5} a$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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10. 已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线为 $l$ ，圆 $C$ ： ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 8$ 与 $l$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ A B C$ 是等腰直角三角形，且 $\vec{O B} = 3 \vec{O A}$ （其中 $O$ 为坐标原点），则双曲线 $C_{1}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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11. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于 $A, B$ 两点，若线段 $A B$ 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{17} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{22}}{4}$

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12. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的两条渐近线的夹角为α.且cosα= $\frac{1}{3}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、2

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二、填空题

13. 已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是该双曲线上的一点，且 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} | = 16$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长是．

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是.

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15. 双曲线 $M$ 的焦点是 $F_{1} ， F_{2}$ ，若双曲线 $M$ 上存在点 $P$ ，使 $Δ P F_{1} F_{2}$ 是有一个内角为 $\frac{2 π}{3}$ 的等腰三角形，则 $M$ 的离心率是；

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16. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线围成的三角形面积为 $2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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17. 已知点M为双曲线x²- $\frac{y^{2}}{8}$ =1左支上一动点，右焦点为F，点N（0，6），则该双曲线的离心率为：；|MN|+|MF|的最小值为．

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三、解答题

18. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b {}^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，虚轴长为4．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；

（Ⅱ）过点 $(0, 1)$ ，倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，求 $Δ O A B$ 的面积．

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19. 已知双曲线C₁： $\frac{x^{2}}{4}$ - $\frac{y^{2}}{12}$ =1．

(1)、若点M（3，t）在双曲线C₁上，求M点到双曲线C₁右焦点的距离；

(2)、求与双曲线C₁有共同渐近线，且过点（-3，2 $\sqrt{6}$ ）的双曲线C₂的标准方程．

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20. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)、焦点在 $x$ 轴上， $a = 2$ ，离心率为 $\frac{3}{2}$ ；

(2)、焦点的坐标为 $(5 ， 0)$ ， $(- 5 ， 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \frac{4}{3} x$ .

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21. 已知双曲线的两个焦点为 $F_{1} (- \sqrt{5} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{5}, 0)$ ，P是此双曲线上的一点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，|PF₁|·|PF₂|=2，求该双曲线的方程．

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22.

(1)、已知椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，短轴一个端点到右焦点的距离为4，求椭圆的标准方程。

(2)、已知双曲线过点 $A (6 ， - 5)$ ，一个焦点为 $(- 6 ， 0)$ ，求双曲线的标准方程。

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