黑龙江省哈尔滨市宾县一中2019-2020学年高二上学期理数第一次月考试卷

试卷更新日期：2019-11-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（）

A、若 $x^{2} \geq 1$ ，则 $x \geq 1$ 或 $x \leq - 1$ B、若 $- 1 < x < 1$ ，则 $x^{2} < 1$ C、若 $x > 1$ 或 $x < - 1$ ，则 $x^{2} > 1$ D、若 $x \geq 1$ 或 $x \leq - 1$ ，则 $x^{2} \geq 1$

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2. 双曲线 $3 x^{2} - y^{2} = 9$ 的焦距为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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3. 命题 $p : x + y \neq 3$ ，命题 $q : x \neq 1$ 或 $y \neq 2$ ，则命题 $p$ 是命题 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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5. 已知命题 $p ：$ “ $\forall x \in [0 ， 1] ， a \geq e^{x}$ ”，命题 $q ：$ “ $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + 4 x_{0} + a = 0$ ”.若命题“ $p \land q$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $[1 ， 4]$ C、 $[e ， 4]$ D、 $(- \infty ， - 1)$

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6. 已知命题 $p : \forall x > 0$ ,总有 $(x + 1) e^{x} > 1$ ,则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} \leq 0$ ,使得 $(x_{0} + 1) e^{x_{0}} \leq 1$ B、 $\exists x_{0} > 0$ ,使得 $(x_{0} + 1) e^{x_{0}} \leq 1$ C、 $\forall x > 0$ ,总有 $(x + 1) e^{x} \leq 1$ D、 $\forall x \leq 0$ ,总有 $(x + 1) e^{x} \leq 1$

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7. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为F₁ ， F₂离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，过F₂的直线l交C与A，B两点，若△AF₁B的周长为 $4 \sqrt{3}$ ，则C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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8. 过点 $M (1 ， 1)$ 的直线与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $M$ 平分弦 $A B$ ，则直线 $A B$ 的方程为（）

A、 $4 x + 3 y - 7 = 0$ B、 $3 x + 4 y - 7 = 0$ C、 $3 x - 4 y + 1 = 0$ D、 $4 x - 3 y - 1 = 0$

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9. 命题“ $\forall x \in [1 ， 2]$ ， $x^{2} - a \leq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \geq 4$ B、 $a \leq 4$ C、 $a \geq 5$ D、 $a \leq 5$

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10. 过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点A的斜率为 $k$ 的直线交椭圆C 于另一点B，且点B在 $x$ 轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\pm \frac{1}{3}$ D、 $\pm \frac{1}{2}$

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11. 若点O和点 $F (- 2 ， 0)$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{F P}$ 的取值范围为（）

A、[3- $2 \sqrt{3}$ ， $+ \infty$ ） B、[3+ $2 \sqrt{3}$ ， $+ \infty$ ） C、[ $- \frac{7}{4}$ ， $+ \infty$ ） D、[ $\frac{7}{4}$ ， $+ \infty$ ）

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作双曲线 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $H$ ，若 $F_{2} H$ 的中点 $M$ 在双曲线 $C$ 上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、3

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二、填空题

13. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 与直线 $2 x + y - 4 = 0$ 相交于 $A, B$ 两点，抛物线的焦点为 $F$ ，那么 $| \overset{⇀}{F A} | + | \overset{⇀}{F B} | =$ .

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14. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两条渐近线的方程为.

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15. 已知命题 $p : \exists x_{0} \in R, a x_{0}^{2} + x_{0} + \frac{1}{2} \leq 0$ ,若命题 $p$ 是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 如图，过抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点的直线交抛物线与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 于 $A ， B ， C ， D$ 四点，则 $A B \cdot C D =$ .

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三、解答题

17. 已知命题 $p :$ 对数 $\log_{a} (- 2 t^{2} + 7 t - 5) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 有意义；命题 $q :$ 实数 $t$ 满足不等式 $t^{2} - (a + 3) t + a + 2 < 0$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知命题p：不等式2x－x²<m对一切实数x恒成立，命题q：m²－2m－3≥0，如果“ $\neg$ p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围．

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19. 设 $a, b, c$ 为 $Δ A B C$ 的三边，求证：方程 $x^{2} + 2 a x + b^{2} = 0$ 与 $x^{2} + 2 c x - b^{2} = 0$ 有公共根的充要条件是 $∠ A = 90^{\circ}$ .

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20. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 10)$ 的左、右焦点，P是椭圆上一点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，且 $Δ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\frac{64 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $b$ 的值.

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21. 已知双曲线的中心在原点，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 在坐标轴上，离心率为 $\sqrt{2}$ ，且过点 $P (4, - \sqrt{10})$ .

(1)、求双曲线的方程；

(2)、若点 $M (3, m)$ 在双曲线上，求证： $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} = 0$ ；

(3)、求 $Δ F_{1} M F_{2}$ 的面积．

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22. 已知椭圆 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点，离心率等于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 作直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，交 $y$ 轴于 $M$ 点，若 $\vec{M A} = λ_{1} \vec{A F}, \vec{M B} = λ_{2} \vec{B F}$ ，求证 $λ_{1} + λ_{2}$ 为定值．

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