备考2020年高考数学一轮复习：44 立体几何中的向量方法（二）--求空间角（理科专用）

试卷更新日期：2019-10-31 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知正四面体 $A_{} - B C D$ 中， $P$ 为 $A D$ 的中点，则过点 $P$ 与侧面 $A B C$ 和底面 $B C D$ 所在平面都成 $60^{\circ}$ 的平面共有（）（注：若二面角 $α - l - β$ 的大小为 $120^{\circ}$ ，则平面 $α$ 与平面 $β$ 所成的角也为 $60^{\circ}$ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A B = A C = B C = 2$ ，则 $A A_{1}$ 与平面 $A B_{1} C_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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3. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B ⊥$ 面 $A B C$ ， $M$ ， $N$ ， $Q$ 分别为 $A C$ ， $P B$ ， $A B$ 的中点， $M N = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $P Q$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $N$ 是棱 $A D$ 的中点， $M$ 是棱 $C C_{1}$ 上的点，且 $C C_{1} = 3 C M$ ，则直线 $B M$ 与 $B_{1} N$ 所成的角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{20}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{30}$

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5. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则二面角 $A - B_{1} D_{1} - B$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足 $\vec{A P} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ ，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为 $($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ B、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 若正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都相等，D是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则直线AD与平面 $B_{1} D C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、

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8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 D、 $\frac{1}{4}$

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9. 如图，四边形 $A B C D$ ， $A B = B D = D A = 4$ ， $B C = C D = 2 \sqrt{2}$ ，现将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 折起，当二面角 $A - B D - C$ 的大小在 $[\frac{π}{3} ， \frac{2 π}{3}]$ 时，直线 $A B$ 和 $C D$ 所成角为 $α$ ，则 $cos α$ 的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知空间向量 $\overset{⇀}{A B} = (1 ， 0 ， - 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (0 ， 1 ， 1)$ ，则直线 $A B$ 与平面 $α$ 所成角 $θ$ 为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，在三棱锥 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， $A B = 4 ， A A_{1} = 6$ ．若 $E$ 是棱 $B B_{1}$ 上的点，且 $B E = B_{1} E$ ，则异面直线 $A_{1} E$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 在四面体ABCD中，已知棱AC的长为 $\sqrt{2}$ ，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、

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13. 如图在一个二面角的棱上有两个点 $A$ ， $B$ ，线段 $AC ， BD$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $AB$ ， $AB = 4 cm ， AC = 6 cm ， BD = 8 cm ， CD = 2 \sqrt{17} cm$ ，则这个二面角的度数为（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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二、填空题

14. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $P$ 是棱 $B B_{1}$ 上一点，若异面直线 $A C_{1}$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{11}}{33}$ ，则 $B P =$ .

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15. 等腰直角△ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把△ABC折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C—BM—A的大小为．

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16. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}^{}$ 与 $D B_{1}^{}$ 所成角的余弦值为．

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为菱形， $A C = 8$ ， $B D = 6$ ， $O$ 为对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ 且 $P O = 4$

(1)、求异面直线 $P A$ 与 $B C$ 所成角的余弦值；

(2)、求平面 $A P C$ 与平面 $P C B$ 所成锐二面角的余弦值．

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18. 在如图所示的多面体中， $E F ⊥$ 平面 $A E B$ ， $A E ⊥ E B$ ， $A D / / E F$ ， $E F / / B C$ ， $B C = 4$ ， $E F = 3$ ， $A D = A E = B E = 2$ ， $G$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $B D ⊥ E G$ ；

(2)、求二面角 $G - D E - F$ 的平面角的余弦值.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B B_{1} ⊥$ 平面ABC， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ，E是BC的中点， $A C = A B = A A_{1} = 2$ ．

(1)、求异面直线AE与 $A_{1} C$ 所成的角的大小；

(2)、若G为 $C_{1} C$ 中点，求二面角 $C - A G - E$ 的余弦值．

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20. 如图，将边长为2的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $C B D$ ，又 $A E ⊥$ 平面 $A B D$ .

(1)、若 $A E = \sqrt{2}$ ，求直线 $D E$ 与直线 $B C$ 所成的角；

(2)、若二面角 $A B E D$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求 $A E$ 的长度．

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21. 如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．

(1)、若E是PB的中点，求证OE∥平面PCD

(2)、求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小

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