备考2020年高考数学一轮复习：43 立体几何中的向量方法（一）--证明平行与垂直（理科专用）

试卷更新日期：2019-10-31 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 设直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a}$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n}$ ， $l ⊄ α$ ，则使 $l / / α$ 成立的是（）

A、， B、， C、， D、，

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2. 已知A、B、C三点的坐标分别为 $A (4 ， 1 ， 3)$ ， $B (2 ， - 5 ， 1)$ ， $C (3 ， 7 ， λ)$ ，若 $\overset{⇀}{A B} ⊥ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ$ 等于（）

A、28 B、－28 C、14 D、－14

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3. 下列选项中，与向量 $(1 ， - 2)$ 垂直的单位向量为（）

A、 $(4 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(- \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， - \frac{\sqrt{5}}{5})$

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4. 与向量 $\vec{a}$ =（12，5）平行的单位向量为（）

A、 $(\frac{12}{13} ， - \frac{5}{13})$ B、 $(- \frac{12}{13} ， - \frac{5}{13})$ C、 $(\frac{12}{13} ， \frac{5}{13})$ 或 $(- \frac{12}{13} ， - \frac{5}{13})$ D、 $(- \frac{12}{13} ， \frac{5}{13})$ 或 $(\frac{12}{13} ， - \frac{5}{13})$

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5. 下列各组向量中不平行的是（）

A、 $\vec{a} = (1, 2, - 2), \vec{b} = (- 2, - 4, 4)$ B、 $\vec{c} = (1, 0, 0), \vec{d} = (- 3, 0, 0)$ C、 $\vec{e} = (2, 3, 0), \vec{f} = (0, 0, 0)$ D、 $\vec{g} = (- 2, 3, 5), \vec{h} = (16, 24, 40)$

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6. 设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（　　）

A、2 B、-4 C、4 D、-2

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7. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (\sqrt{3} ， 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (x ， - 2)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b})$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 若直线 $l$ 的一个方向向量 $\overset{⇀}{a} = (2, 2, - 2)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\overset{⇀}{b} = (1, 1, - 1)$ ，则（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l / / α$ C、 $l \subset α$ D、 $A 、 C$ 都有可能

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9. 已知平面 $α$ 的法向量是 $(2, 3, - 1)$ ，平面 $β$ 的法向量是 $(4, λ, - 2)$ ，若 $α / / β$ ，则 $λ$ 的值是（）

A、 $- \frac{10}{3}$ B、 $- 6$ C、6 D、 $\frac{10}{3}$

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二、填空题

10. 已知直线 $l$ 的方向向量为 $\overset{⇀}{e} = (- 1, 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\overset{⇀}{n} = (\frac{1}{2}, λ, - 1) (λ \in R)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则实数 $λ$ 的值为.

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11. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3) ， \vec{b} = (- 4 ， 2 ， x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则x=；若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 则x= ．

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12. 平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为 $\vec{u}$ =（﹣1，0，5）， $\vec{v}$ =（t，5，1），则t的值为

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13. 设平面α与向量 $\vec{a}$ = $\{- 1 ， 2 ， - 4\}$ 垂直，平面β与向量 $\vec{b}$ = $\{2 ， 3 ， 1\}$ 垂直，则平面α与β位置关系是

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14. 设平面 $α$ 的法向量为 $(1 ， - 2 ， 2)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $(2 ， λ ， 4)$ ，若 $α$ ∥ $β$ ，则 $λ$ 的值为

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三、解答题

15. 如图所示，正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 与矩形 $A B C D$ 所在平面互相垂直， $A B = 2 A D = 2$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $D_{1} E ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A_{1} D E$ .

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16. 如图，已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $A C = B C = B B_{1}$ ，求证：

(1)、 $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、 $B C_{1}$ ∥平面 $C A_{1} D$ 。

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17. 已知 $A (λ ， 5) ， B (4 ， 12) ， C (- λ ， 13)$ 三点，其中 $λ < 0$ .

(1)、若 $A ， B ， C$ 三点在同一条直线上，求 $λ$ 的值；

(2)、当 $\overset{⇀}{A B} ⊥ \overset{⇀}{B C}$ 时，求 $| \overset{⇀}{A C} |$ .

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18. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E F$ ∥ $A B ， E F ⊥ F B ， A B = 2 E F$ ， $∠ B F C = 90 ° ， B F = F C ， H$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $F H$ ∥平面 $E D B$ ；

(2)、求证： $A C ⊥$ 平面 $E D B$ .

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19. 如图在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为AC与BD的交点，G为CC₁的中点．求证： $A_{1} O ⊥$ 平面GBD.

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