备考2020年高考数学一轮复习：42 空间向量及其运算（理科专用）

试卷更新日期：2019-10-31 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知空间向量a=(-1，1，3)，b=(2，-2，x)，若a∥b，则实数x的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、-6 D、6

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2. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为1的正方形，若 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{0}$ ，且 $A_{1} A = 3$ ，则 $A_{1} C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $\sqrt{17}$

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3. 已知 $\vec{a}$ ＝(2，－3,1)，则下列向量中与 $\vec{a}$ 平行的是（）

A、(1,1,1) B、(－4,6，－2) C、(2，－3,5) D、(－2，－3,5)

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4. 平面α的法向量为 $\overset{⇀}{a}$ ＝(1，2，－2)，平面β的法向量 $\overset{⇀}{b}$ ＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为（）

A、－2 B、－8 C、0 D、－6

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5. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C_{1} B} = ($ $)$

A、 B、 C、 D、

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6. 已知平面 $α$ 的法向量为 $\overset{⇀}{n} = (2 ， - 2 ， 4)$ ， $\overset{⇀}{A B} = (- 1 ， 1 ， - 2)$ ，则直线 $A B$ 与平面的位置关系为（）

A、 B、 C、 $A B$ 与 $α$ 相交但不垂直 D、

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7. 在三棱锥 $O - A B C$ 中，若 $D$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C} - \vec{O B}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} + \vec{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C} - \vec{O A}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C} + \vec{O A}$

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8. 在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D是CC₁的中点，F是A₁B的中点，且 $\overset{⇀}{D F} = α \overset{⇀}{A B} + β \overset{⇀}{A C}$ ，则（）

A、 $α = \frac{1}{2} ， β = - 1$ B、 $α = - \frac{1}{2} ， β = 1$ C、 $α = 1 ， β = - \frac{1}{2}$ D、 $α = - 1 ， β = \frac{1}{2}$

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9. 设平面 $α$ 的一个法向量为 $\overset{⇀}{n} = (x ， 1 ， - 2)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\overset{⇀}{m} = (2 ， - 2 ， y)$ ，若 $α / / β$ ，则 $x y =$ （）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $- 2$ D、 $- 4$

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10. 已知线段AB的两端点坐标为A（9，－3，4），B（9，2，1），则线段AB与（）

A、xOy平行 B、xOz平行 C、yOz平行 D、yOz相交

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11. 空间四边形ABCD中，若向量 $\vec{A B} = (- 3 ， 5 ， 2)$ ， $\vec{C D} = (- 7 ， - 1 ， - 4)$ ，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则 $\vec{E F}$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， 3 ， 3)$ B、 $(- 2 ， - 3 ， - 3)$ C、 $(5 ， - 2 ， 1)$ D、 $(- 5 ， 2 ， - 1)$

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12. 若两个不同平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别为 $u = (1, 2, - 1)$ ， $v = (- 4, - 8, 4)$ ，则（）

A、 $α / / β$ B、 $α ⊥ β$ C、 $α$ ， $β$ 相交但不垂直 D、以上均不正确

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13. 空间四边形 $O A B C$ 中， $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\overset{⇀}{M N}$ =（）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{b} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{b} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$

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二、填空题

14. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- 1, 2, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, - 2, 0)$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 在 $\overset{⇀}{b}$ 方向上的投影为．

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15. 已知 $\vec{a}$ ＝(1，－2,1)， $\vec{a}$ ＋ $\vec{b}$ ＝(－1,2，－1)，则 $\vec{b}$ 等于.

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16. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- 2, 1, 3), \overset{⇀}{b} = (- 1, 2, 1)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - λ \overset{⇀}{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为.

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17. 已知 $O$ 是空间任一点， $A, B, C, D$ 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 $\overset{⇀}{O A} = 2 x \cdot \overset{⇀}{B O} + 3 y \cdot \overset{⇀}{C O} + 4 z \cdot \overset{⇀}{D O}$ ，则 $2 x + 3 y + 4 z =$ .

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18. 若 $\vec{a} = (2 ， - 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 0 ， 3)$ ， $\vec{c} = (0 ， 2 ， 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) =$

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19. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\overset{⇀}{B D} = x \overset{⇀}{A D} + y \overset{⇀}{A B} + z \overset{⇀}{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z$ 的值为。

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20. 已知 ${\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}}$ 为单位正交基底，且 $\vec{a} = - \vec{i} + \vec{j} + 3 \vec{k}, \vec{b} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} - 2 \vec{k}$ ，则向量 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的坐标是.

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三、解答题

21. 已知 $O A ， O B ， O C$ 两两垂直， $O A = O C = 3 ， O B = 2$ ， $M$ 为 $O B$ 的中点，点 $N$ 在 $A C$ 上， $A N = 2 N C$ .

（Ⅰ）求 $M N$ 的长；

（Ⅱ）若点 $P$ 在线段 $B C$ 上，设 $\frac{B P}{P C} = λ$ ，当 $A P ⊥ M N$ 时，求实数 $λ$ 的值．

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22. 如图所示，N，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 表示 $\vec{O P}$ 和 $\vec{O Q}$ .

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