备考2020年高考数学一轮复习：41 直线、平面垂直的判定及其性质

试卷更新日期：2019-10-31 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，直线 $n \subset α$ ，直线 $m \subset β$ ，且 $m ⊥ n$ ，则（）

A、 $n ⊥ β$ B、 $n ⊥ β$ 且 $m ⊥ α$ C、 $m ⊥ α$ D、 $n ⊥ β$ 和 $m ⊥ α$ 中至少有一个成立

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2. 已知平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，且 $α \cap^{} β = l$ ，要得到直线 $m ⊥$ 平面 $β$ ，还需要补充以下的条件是（）

A、 $m \subset α$ B、 $m / / α$ C、 $m ⊥ l$ D、 $m \subset α$ 且 $m ⊥ l$

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3. 如图， $A C = 2 R$ 为圆 $O$ 的直径， $∠ P C A = 45^{\circ}$ ， $P A$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面， $B$ 为圆周上不与点 $A$ 、 $C$ 重合的点， $A S ⊥ P C$ 于 $S$ ， $A N ⊥ P B$ 于 $N$ ，则下列不正确的是（）

A、平面 $A N S ⊥$ 平面 $P B C$ B、平面 $A N S ⊥$ 平面 $P A C$ C、平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ D、平面 $A B C ⊥$ 平面 $P A C$

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4. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2 B C$ ， $E$ 是 $C D$ 上一点，若 $A E ⊥ P B$ ，则 $\frac{C E}{E D}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $3$ D、4

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5. 在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（）

A、平面ABC⊥平面BED B、平面ABC⊥平面ABD C、平面ABC⊥平面ADC D、平面ABD⊥平面BDC

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6. 已知三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有（）

A、平面ABC⊥平面ADC B、平面ADC⊥平面BCD C、平面ABC⊥平面BDC D、平面ABC⊥平面ADB

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7. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ，点 $E$ 为线段 $D C$ 上一动点，现将 $Δ A D E$ 沿 $A E$ 折起，使点 $D$ 在面 $A B C$ 内的射影 $K$ 在直线 $A E$ 上，当点 $E$ 从 $D$ 运动到 $C$ ，则点 $K$ 所形成轨迹的长度为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 下列命题中错误的是（）

A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

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9. 如图，在三棱锥 $A - BCD$ 中，侧面 $ABD ⊥$ 底面BCD， $BC ⊥ CD$ ， $AB = AD = 4$ ， $BC = 6$ ， $BD = 4 \sqrt{3}$ ，直线AC与底面BCD所成角的大小为 $($ $)$

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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10. 如图PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有（）

A、2对 B、3对 C、4对 D、5对

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11. 如图所示，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面△ABC中，∠A＝90°，且BC₁⊥AC，过C₁作C₁H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）

A、直线AC上 B、直线AB上 C、直线BC上 D、△ABC内部

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12. 如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定

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二、填空题

13. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB=AC=AP=1，BC= $\sqrt{2}$ ，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是．

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14. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $a$ 的正方形，侧棱 $P A = a$ ， $P B = P D = \sqrt{2} a$ ，则它的5个面中，互相垂直的面有对.

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15. 已知 $∠ B A D = 90^{°}$ 的等腰直角三角形 $A B D$ 与正三角形 $C B D$ 所在平面成 $60^{°}$ 的二面角，则 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值为

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16. 如图，直线AB⊥平面BCD ， ∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为．

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三、解答题

17. 如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋ $\sqrt{3}$ ，过A作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.

(1)、求证：BC⊥面CDE；

(2)、在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由.

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18. 如图，正方形 $A B C D$ 所在的平面与 $△ C D E$ 所在的平面相交于 $C D$ ， $A E$ ⊥平面 $C D E$ ，且 $A E = 3 ， A B = 6$ ．

(1)、求证： $A B$ ⊥平面 $A D E$ ；

(2)、求 $E$ 到正方形 $A B C D$ 所在平面的距离．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A = P D$ ， $P A ⊥ A B$ ， $N$ 是棱 $A D$ 的中点．

(1)、证明：平面 $P A B$ $⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $A B = A D = A P = 2$ ，求点 $N$ 到平面 $P A C$ 的距离．

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20. 如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CA＝CB ， AB＝AA₁ ， ∠BAA₁＝60°.O为AB的中点

(1)、证明：AB⊥平面A₁OC

(2)、若AB＝CB＝2，平面ABC $⊥$ 平面A₁ABB₁ ，求三棱柱ABC－A₁B₁C₁的体积．

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21. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上 $($ 异于点P， $C)$ ，平面ABE与棱PD交于点F

(1)、求证： $A B / / E F$ ；

(2)、若 $A F ⊥ E F$ ，求证：平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD．

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22. 如图，在三棱锥S－ABC中，BC⊥平面SAC，AD⊥SC．

(Ⅰ)求证：AD⊥平面SBC；

(Ⅱ)试在SB上找一点E，使得平面ABS⊥平面ADE，并证明你的结论．

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