备考2020年高考数学一轮复习：36 数学归纳法（理科专用）

试卷更新日期：2019-10-31 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 用数学归纳法证明命题“ $n + (n + 1) + \dots + 2 n = \frac{3 n (n + 1)}{2}$ ”时，在作归纳假设后，需要证明当 $n = k + 1$ 时命题成立，即需证明（）

A、 $k + (k + 1) + \dots + 2 (k + 1) = \frac{3 (k + 1) (k + 2)}{2}$ B、 $k + 1 + (k + 2) + \dots + 2 (k + 1) = \frac{3 (k + 1) (k + 2)}{2}$ C、 $k + (k + 1) + \dots + 2 (k + 1) = \frac{3 k (k + 1)}{2}$ D、 $k + 1 + (k + 2) + \dots + 2 (k + 1) = \frac{3 k (k + 1)}{2}$

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2. 用数学归纳法证明 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + \dots + \frac{1}{n + n} \geq \frac{1}{2}$ $(n \in N_{+})$ 时， $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，不等式左边应添加的项为（）

A、 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ B、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2} - \frac{1}{k + 1}$ D、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2} - \frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}$

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3. 用数学归纳法证明：“ $(n + 1) (n + 2) \dots (n + n) = 2^{n} \times 1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2 n - 1) (n \in N^{*})$ ”时，从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ ，等式的左边需要增乘的代数式是（）

A、 $2 k + 1$ B、 $\frac{2 k + 1}{k + 1}$ C、 $\frac{2 k + 3}{k + 1}$ D、 $2 (2 k + 1)$

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4. 用数学归纳法证明： $x^{2 n - 1} + y^{2 n - 1}$ （ $n \in N^{*}$ ）能被 $x + y$ 整除．从假设 $n = k$ 成立到 $n = k + 1$ 成立时，被整除式应为（）

A、 $x^{2 k + 3} + y^{2 k + 3}$ B、 $x^{2 k + 2} + y^{2 k + 2}$ C、 $x^{2 k+ 1} + y^{2 k + 1}$ D、 $x^{2 k} + y^{2 k}$

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5. 用数学归纳法证明不等式 $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n + n}$ $> \frac{1}{2} (n > 1 ， n \in N^{*})$ 的过程中，从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时左边需增加的代数式是（）

A、 $\frac{1}{2 k + 2}$ B、 $\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 2}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$ D、 $\frac{1}{2 k + 1}$

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6. 证明： $\frac{n + 2}{2} < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 n} < n + 1 (n > 1)$ ，当 $n = 2$ 时，中间式子等于（）

A、1 B、 $1 + \frac{1}{2}$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ D、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$

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7. 假设n=k时成立，当n=k+1时，证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} > \frac{n}{2} (n \in N^{*})$ ，左端增加的项数是（）

A、1项 B、k﹣1项 C、k项 D、2^k项

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8. 用数学归纳法证明不等式“ $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n} > \frac{13}{24} (n > 2)$ ”时的过程中，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ ，不等式的左边增加的项为（）

A、 $\frac{1}{2 (k + 1)}$ B、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 (k + 1)} - \frac{1}{k + 1}$ D、 $\frac{1}{2 (k + 1)} - \frac{1}{k + 1}$

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9. 用数学归纳法证明 $3^{4 n + 1} + 5^{2 n + 1} (n \in N)$ 能被8整除时，当 $n = k + 1$ 时， $3^{4 (k + 1) + 1} + 5^{2 (k + 1) + 1}$ 可变形为（）

A、 $56 \cdot 3^{4 k + 1} + 25 (3^{4 k + 1} + 5^{2 k + 1})$ B、 $3^{4 k + 1} + 5^{2 k + 1}$ C、 $3^{4} \times 3^{4 k + 1} + 5^{2} \times 5^{2 k + 1}$ D、 $25 (3^{4 k + 1} + 5^{2 k + 1})$

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10. 用数学归纳法证明“对一切n∈N^* ，都有 $2^{n} > n^{2} - 2$ ”这一命题，证明过程中应验证（）

A、n＝1时命题成立 B、n＝1，n＝2时命题成立 C、n＝3时命题成立 D、n＝1，n＝2，n＝3时命题成立

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11. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 3 + \dots + n^{2} = \frac{n^{4} + n^{2}}{2}$ ，当 $n = k + 1$ 时，左端应在 $n = k$ 的基础上加上（）

A、 $k^{2} + 1$ B、 ${(k + 1)}^{2}$ C、 $\frac{{(k + 1)}^{4} + {(k + 1)}^{2}}{2}$ D、 $(k^{2} + 1) + (k^{2} + 2) + \dots + {(k + 1)}^{2}$

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二、填空题

12. 利用数学归纳法证明不等式“ $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} > \frac{n}{2} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ”的过程中，由“ $n = k$ ”变到“ $n = k + 1$ ”时，左边增加了项．

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13. 已知下列等式： $\sqrt{2 + \frac{2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ， $\sqrt{3 + \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ， $\sqrt{4 + \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ ， $\sqrt{5 + \frac{5}{24}} = 5 \sqrt{\frac{5}{24}}$ ，…， $\sqrt{10 + \frac{a}{b}} = 10 \sqrt{\frac{a}{b}}$ ，则推测 $a + b =$ ．

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14. 已知 $n \in N$ ，用数学归纳法证明： $(n + 1) (n + 2) \dots (n + n) = 2^{n} \times 1 \times 3 \times \dots \times (2 n - 1)$ 时，从“ $k$ 到 $k + 1$ ”左边需增加的代数式是.

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15. 利用数学归纳法证明“ $1 + a + a^{2} + \dots + a^{n + 1} = \frac{1 - a^{n + 2}}{1 - a}$ ， ( $a \neq 1 ， n \in N$ )”时，在验证 $n = 1$ 成立时，左边应该是．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x)$ 对任意实数 $x, y$ 都有 $f (x + y) = f (x)+ f (y)+2 x y$ ，且 $f (1) = 1$ .
（I）求 $f (2), f (3), f (4)$ 的值，并猜想 $f (n) (n \in N_{+})$ 的表达式；

（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} \cdot a_{n + 1} = \frac{n}{n + 2} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ .
（I）求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的值；

（Ⅱ）归纳猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法证明.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，满足 $1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = {(\frac{(n + 1) a_{n}}{2})}^{2}$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值；

(2)、猜想数列 ${a_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

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19. 在数列 ${{a}_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{3}$ ,且 $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots a_{n}}{n} = (2 n - 1) a_{n}$ ( $n \in N^{*}$ ）．

(1)、写出此数列的前5项；

(2)、归纳猜想 ${{a}_{n}}$ 的通项公式，并加以证明

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20. 用数学归纳法证明：当n∈N^*时，1＋2²＋3³＋…＋nⁿ<(n＋1)ⁿ.

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