高备考2020年高考数学一轮复习：35 直接证明与间接证明

试卷更新日期：2019-10-31 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 用反证法证明命题：“若 $a, b \in R$ ，且 $a^{2} + b^{2} = 0$ ，则a，b全为0”时，要做的假设是（）

A、 $a \neq 0$ 且 $b \neq 0$ B、a，b不全为0 C、a，b中至少有一个为0 D、a，b中只有一个为0

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2. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于 60° ，反证假设正确的是（）

A、假设三内角都大于 60° B、假设三内角都不大于 60° C、假设三内角至多有一个大于 60° D、假设三内角至多有两个大于 60°

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3. 若 $P = \sqrt{a} + \sqrt{a + 5}$ ， $Q = \sqrt{a + 2} + \sqrt{a + 3}$ （ $a \geq 0$ ），则 $P$ ， $Q$ 的大小关系是（）

A、 $P < Q$ B、 $P = Q$ C、 $P > Q$ D、 $P$ ， $Q$ 的大小由 $a$ 的取值确定

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4. 设 $a > b > c$ ， $a + b + c = 1$ ，且 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a + b > 1$ B、 $a + b = 1$ C、 $a + b < 1$ D、以上都不能恒成立

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5. 用反证法证明“若 $x + y \leq 0$ 则 $x \leq 0$ 或 $y \leq 0$ ”时，应假设（）

A、 $x > 0$ 或 $y > 0$ B、 $x > 0$ 且 $y > 0$ C、 $x y > 0$ D、 $x + y < 0$

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6. 已知 $a ， b ， c \in (0 ， 2)$ ，则 $(2 - a) b ， (2 - b) c ， (2 - c) a$ 中（）

A、至少有一个不小于1 B、至少有一个不大于1 C、都不大于1 D、都不小于1

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7. 用反证法证明“如果 $a > b$ ，那么 $\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$ ”假设的内容应是（）

A、 $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b}$ B、 $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$ C、 $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b}$ 且 $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$ D、 $\sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{b}$ 或 $\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}$

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8. 设 $a ， b ， c \in (0 ， 1)$ ，则 $a + \frac{1}{b}$ ， $b + \frac{1}{c}$ ， $c + \frac{1}{a}$ （）

A、都不大于2 B、都不小于2 C、至少有一个不大于2 D、至少有一个大于2

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9. 甲乙丙丁四个人背后各有 1个号码，赵同学说：甲是2号，乙是3号；钱同学说：丙是2号，乙是4号；孙同学说：丁是2号，丙是3号；李同学说：丁是1号，乙是3号．他们每人都说对了一半，则丙是（）

A、1号 B、2号 C、3号 D、4号

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10. 用反证法证明命题“设 $a$ 、 $b$ 为实数，函数 $f (x) = e^{x^{2} + a x + b} - 1$ 至少有一个零点”时要做的假设是（）

A、函数 $f (x) = e^{x^{2} + a x + b} - 1$ 恰有两个零点 B、函数 $f (x) = e^{x^{2} + a x + b} - 1$ 至多有一个零点 C、函数 $f (x) = e^{x^{2} + a x + b} - 1$ 至多有两个零点 D、函数 $f (x) = e^{x^{2} + a x + b} - 1$ 没有零点

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11. “已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + a (a \in R)$ ，求证： $| f (1) |$ 与 $| f (2) |$ 中至少有一个不小于 $\frac{1}{2}$ 。”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是（）

A、假设 $| f (1) | \geq \frac{1}{2}$ 且 $| f (2) | \geq \frac{1}{2}$ ； B、假设 $| f (1) | < \frac{1}{2}$ 且 $| f (2) | < \frac{1}{2}$ ； C、假设 $| f (1) |$ 与 $| f (2) |$ 中至多有一个不小于 $\frac{1}{2}$ ； D、假设 $| f (1) |$ 与 $| f (2) |$ 中至少有一个不大于 $\frac{1}{2}$ .

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12. 用反证法证明命题“若 $\sin θ \sqrt{1 - \cos^{2} θ} + \cos θ \cdot \sqrt{1 - \sin^{2} θ} = 1$ ，则 $\sin θ \geq 0 且 \cos θ \geq 0$ ”时，下列假设的结论正确的是（）

A、 $\sin θ \geq 0 或 \cos θ \geq 0$ B、 $\sin θ < 0 或 \cos θ < 0$ C、 $\sin θ < 0 且 \cos θ < 0$ D、 $\sin θ > 0 且 \cos θ > 0$

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二、填空题

13. 设 $A = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ ， $B = \sqrt{6} - \sqrt{3}$ ，则 $A$ $B$ （填入“ $>$ ”或“ $<$ ”）．

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14. 用反证法证明命题“若直线 $A B, C D$ 是异面直线，则直线 $A C, B D$ 也是异面直线”的过程可归纳为以下三个步骤：
①则 $A, B, C, D$ 四点共面，所以 $A B, C D$ 共面，这与 $A B, C D$ 是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线 $A C, B D$ 也是异面直线；③假设直线 $A C, B D$ 是共面直线．则正确的推理步骤的序号依次为．

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15. 2018年4月初，甲、乙、丙三位全国文化名人特来我市参加“宝鸡发展大会”.会后有旅游公司询问甲、乙、丙三位是否去过周公庙，法门寺，五丈原三个地方时.
甲说：我去过的地方比乙多，但没去过法门寺；
乙说：我没去过五丈原；
丙说：我们三人去过同一个地方.
由此可判断乙去过的地方为．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 及函数g（x）＝﹣bx（a，b，c∈R），若a＞b＞c且a+b+c＝0．

(1)、证明：f（x）的图象与g（x）的图象一定有两个交点；

(2)、请用反证法证明： $- 2 < \frac{c}{a} < - \frac{1}{2}$ ；

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17. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 的图像与 $x$ 轴有两个不同的交点，若 $f (c) = 0$ ，且 $0 < x < c$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、证明： $\frac{1}{a}$ 是函数 $f (x)$ 的一个零点；

(2)、试用反证法证明 $\frac{1}{a} > c$ .

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18. 已知 $a > b > 0$ ，求证：

(1)、 $a + b + 3 > \sqrt{a b} + 2 \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ；

(2)、 $\sqrt{a + 1} - \sqrt{a + 2} > \sqrt{b + 1} - \sqrt{b + 2}$ .

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19. 证明下列不等式：

(1)、用分析法证明： $\sqrt{6} + \sqrt{7} > 2 \sqrt{2} + \sqrt{5}$ ；

(2)、已知 $a ， b ， c$ 是正实数，且 $a + b + c = 1$ .求证： $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{1}{3}$ .

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20. 选修4-5：不等式选讲
设 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .求证：

(1)、 $a + b \geq 2$ ；

(2)、 $a^{2} + a < 2$ 与 $b^{2} + b < 2$ 不可能同时成立.

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