备考2020年高考数学一轮复习：34 合情推理与演绎推理

试卷更新日期：2019-10-31 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。
甲：我的成绩比乙高。

乙：丙的成绩比我和甲的都高。

丙：我的成绩比乙高。

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）

A、甲、乙、丙 B、乙、甲、丙 C、丙、乙、甲 D、甲、丙、乙

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2. 周末，某高校一学生宿舍有甲乙丙丁四位同学分别在做不同的四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信； ④丙不在看书，也不在写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，乙同学正在做的事情是（）

A、玩游戏 B、写信 C、听音乐 D、看书

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3. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）

A、甲可以知道四人的成绩 B、丁可以知道四人的成绩 C、甲、丁可以知道对方的成绩 D、甲、丁可以知道自己的成绩

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4. 甲乙丙丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖.”乙说：“是甲或丙获奖.”丙说：“是甲获奖.”丁说：“是乙获奖.”四人所说话中只有两位是真话，则获奖的人是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 观察下列各式： $7^{1} = 7 ， 7^{2} = 49 ， 7^{3} = 343 ， 7^{4} = 2401, 7^{5} = 16807, \dots$ ，则 $7^{2019}$ 的末尾两位数字为（）

A、49 B、43 C、07 D、01

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6. 数列 ${a_{n}}$ 中，则 $a_{n} = \sqrt{\underset{2 n 个}{\underset{︸}{11 \dots 1}} - \underset{n 个}{\underset{︸}{22 \dots 2}}}$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $3333$ B、 $7777$ C、 $33333$ D、 $77777$

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7. 某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下：

安全出口编号	甲，乙	乙，丙	丙，丁	丁，戊	甲，戊
疏散乘客时间（s）	120	220	160	140	200

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）

A、甲 B、乙 C、丁 D、戊

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8. 将正整数排列如图：则图中数2019出现在（）

A、第44行第84列 B、第45行第84列 C、第44行第83列 D、第45行第83列

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9. 观察下列各式： $\sqrt{2 - \frac{2}{5}} = 2 \sqrt{\frac{2}{5}}$ ， $\sqrt{3 - \frac{3}{10}} = 3 \sqrt{\frac{3}{10}}$ ， $\sqrt{4 - \frac{4}{17}} = 4 \sqrt{\frac{4}{17}}$ ，….若 $\sqrt{9 - \frac{m}{n}} = 9 \sqrt{\frac{m}{n}}$ ，则 $n - m =$ （）

A、 $43$ B、 $73$ C、 $82$ D、 $91$

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10. 德国数学家科拉茨 $1937$ 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 $n$ ，如果 $n$ 是偶数，就将它减半（即 $\frac{n}{2}$ ）；如果 $n$ 是奇数，则将它乘 $3$ 加 $1$ （即 $3 n + 1$ ），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 $1$ .对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数 $n$ （首项）按照上述规则施行变换后的第 $8$ 项为 $1$ （注： $1$ 可以多次出现），则 $n$ 的所有不同值的个数为（）

A、 $128$ B、 $64$ C、 $32$ D、 $6$

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11. 把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是（）

A、27 B、28 C、29 D、30

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12. 杨辉是中国南宋时期的一位杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，按从上到下、从左到右的顺序，把第1个1记为（1，1），第2个1记为（2，1），第3个1记为（2，2），第4个1记为（3，1），第5个1记为（3，2）…，依次类推，则第31个1应记为（）

A、（15，2） B、（16，1） C、（16，2） D、（17，1）

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二、填空题

13. 已知圆： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 的面积为 $π r^{2}$ ，类似的，椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n} = 2 n - 1$ ，把 ${a_{n}}$ 中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形矩阵

①数阵中第5行所有项的和为；

②2019是数阵中第 $i$ 行的第 $j$ 列，则 $i + j =$ .

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15. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 $n$ 行有 $n$ 个数且两端的数均为 $\frac{1}{n} (n ⩾ 2)$ ，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 $\frac{1}{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} ， \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} ， \frac{1}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}$ ，…，则第7行第3个数（从左往右数）为.

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16. 观察下列各式： $a + b = 1, a^{2} + b^{2} = 3, a^{3} + b^{3} = 4, a^{4} + b^{4} = 7, a^{5} + b^{5} = 11, \dots$ ，则 $a^{10} + b^{10} =$

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17. 已知 $f (x) > 0$ .经计算 $f (4) > 2$ ， $f (8) > \frac{5}{2}$ ， $f (16) > 3$ ， $f (32) > \frac{7}{2}$ ，则根据以上式子得到第 $n$ 个式子为.

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三、解答题

18. 一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第 $n$ 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为 $f (n)$ ．

(1)、求出 $f (2)$ ， $f (3)$ ， $f (4)$ 的值；

(2)、利用归纳推理，归纳出 $f (n + 1)$ 与 $f (n)$ 的关系式；并猜想 $f (n)$ 的表达式，不需要证明。

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19. 已知 $f (n) = (1 + \frac{1}{1}) (1 + \frac{1}{4}) (1 + \frac{1}{7}) \dots (1 + \frac{1}{3 n - 2}) (n \in N^{*})$ ， $g (n) = \sqrt[3]{3 n + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、当 $n = 1, 2, 3$ 时，分别比较 $f (n)$ 与 $g (n)$ 的大小（直接给出结论）；

(2)、由（1）猜想 $f (n)$ 与 $g (n)$ 的大小关系，并证明你的结论.

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20. 若“ $a > 0, b > 0$ ，求证： $\frac{a}{\sqrt{a}} + \frac{b}{\sqrt{b}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ”
除了用比较法证明外，还可以有如下证法：

$\frac{a}{\sqrt{a}} + \frac{b}{\sqrt{b}} + \sqrt{a} + \sqrt{b} \geq (\frac{b}{\sqrt{a}} + \sqrt{a}) + (\frac{a}{\sqrt{b}} + \sqrt{b}) \geq 2 \sqrt{a} + 2 \sqrt{b}$

（当且仅当 $a = b$ 时等号成立）， $∴ \frac{a}{\sqrt{a}} + \frac{b}{\sqrt{b}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b}$

学习以上解题过程，尝试解决下列问题：

(1)、证明：若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ，则 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq a + b + c$ ，并指出等号成立的条件；

(2)、试将上述不等式推广到 $n$ （ $n \geq 2$ ）个正数 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\cdot \cdot \cdot$ 、 $a_{n - 1}$ 、 $a_{n}$ 的情形，并证明.

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