备考2020年高考数学一轮复习：33 基本不等式

试卷更新日期：2019-10-31 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a + b = a b - 1$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、 $5 + 2 \sqrt{6}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、5 D、9

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2. 任意正数x，不等式 $a x \leq x^{2} + 1$ 恒成立，则实数a的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，若对任意的正数 $x ， y$ ，不等式 $x + 2 y > m^{2} + 2 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 4$ 或 $m \leq - 2$ B、 $m \geq 2$ 或 $m \leq - 4$ C、 $- 2 < m < 4$ D、 $- 4 < m < 2$

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4. 若直线 $2 a x - b y + 2 = 0 (a > 0, b > 0)$ 被圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 截得弦长为 $4$ ，则 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、 $9$ B、 $4$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 设 $a > 0, b > 0$ ，若3是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）.

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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6. 已知正数 $m, n$ 满足 $m^{2} + n^{2} = 100$ ，则 $m + n$ （）

A、有最大值 $10 \sqrt{2}$ B、有最小值 $10 \sqrt{2}$ C、有最大值10 D、有最小值10

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7. 已知 $a$ ， $b$ ， $c \in (0, + \infty)$ ，则下列三个数 $\frac{a}{c}$ ， $b + \frac{4}{c}$ ， $c + \frac{9}{a}$ （）

A、都大于 $4$ B、至少有一个不大于 $4$ C、都小于 $4$ D、至少有一个不小于 $4$

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8. 若正数 $x, y$ 满足 $x + y + 15 = \frac{1}{x} + \frac{9}{y}$ ，且 $x + y \leq 1$ ，则（）

A、 $x$ 为定值，但 $y$ 的值不定 B、 $x$ 不为定值，但 $y$ 是定值 C、 $x$ ， $y$ 均为定值 D、 $x$ ， $y$ 的值均不确定

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9. 若两个正实数 $x$ ， $y$ 满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，且不等式 $x + 2 y - m^{2} - 2 m < 0$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (4, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 4) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- 2, 4)$ D、 $(- 4, 2)$

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10. 若曲线 $y = x^{3} - 2 x^{2} + 2$ 在点 $A$ 处的切线方程为 $y = 4 x - 6$ ，且点 $A$ 在直线 $m x + n y - 1 = 0$ （其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ）上，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $6 + 4 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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11. 若a＞b＞c，则使 $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c} \geq \frac{k}{a - c}$ 恒成立的最大的正整数k为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 在 $a > 0 ， b > 0$ 的条件下，五个结论：① ${(\frac{a + b}{2})}^{2} \geq a b$ ； ② $\frac{a + b}{2} \geq \frac{2 a b}{a + b}$ ；③ $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ ；④ $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a} \leq a + b$ ；⑤设 $a ， b ， c$ 都是正数，则三个数 $a + \frac{1}{b} ， b + \frac{1}{c} ， c + \frac{1}{a}$ 至少有一个不小于 $2$ ，其中正确的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

13. 设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 4$ ，则 $\frac{(x + 1) (2 y + 1)}{x y}$ 的最小值为.

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14. 已知正数a、b满足 a²+b²=6 ,则 $b \sqrt{a^{2} + 4}$ 的最大值为。

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若不等式 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{m}{2 a + b}$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为．

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16. 若 $m > 0$ ， $n > 0$ ， $m + n = 1$ ，则 $\frac{4}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值是.

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17. 设 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为三个非零向量，且 $\vec{a}, + \vec{b} + \vec{c} = 0, | \vec{a} | = 2, | \vec{b} - \vec{c} | = 2$ ，则 $| \vec{b} | + | \vec{c} |$ 的最大值是．

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三、解答题

18. 有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，求矩形场地的最大面积。

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19. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 经过点 $(1 ， 2)$ ．

(1)、求 $a b$ 的最小值；

(2)、求 $a + 2 b$ 的最小值．

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20. 已知函数 $f (x) = 3^{x} + \frac{4}{3^{x}} ， F (x) = 3^{2 x} + \frac{16}{3^{2 x}} - 2 a (3^{x} + \frac{4}{3^{x}}) + 24 (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $g (x) = \sqrt{\frac{F (x)}{f (x)}}$ 的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围；

(2)、若关于x的不等式F（x）＞af（x）+12恒成立，求实数a的取值范围．

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21. 某工厂生产的某种产品，当年产量在 $150$ 吨至 $250$ 吨之间时，年生产总成本 $y$ （万元）与年产量 $x$ （吨）之间的关系可近似地表示成 $y = \frac{x^{2}}{10} - 30 x + 4000$ ，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．

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22. 某商品上市30天内每件的销售价格 $P$ 元与时间 $x$ 天函数关系是 $P = {\begin{matrix} x + 15, 0 < x < 20, x \in N, \\ \frac{600}{x}, x \geq 20, x \in N . \end{matrix}$ 该商品的日销售量 $Q$ 件与时间 $x$ 天函数关系是 $Q = 45 - x, (0 < x \leq 30, x \in N)$ .

(1)、求该商品上市第20天的日销售金额；

(2)、求这个商品的日销售金额的最大值.

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