浙江省丽水四校联考2019-2020学年高三数学9月阶段性考试试卷

试卷更新日期：2019-10-30 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若“ $0 < x < 1$ ”是“ $(x - a) [x - (a + 2)] \leq 0$ ”的充分不必要条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(- \infty, 0] \cup [1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [0, + \infty)$

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2. 若整数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ 2 x - y - 10 \leq 0 \\ \sqrt{3} x + y - 5 \sqrt{3} \geq 0 \end{array}$ 则2x＋y的最大值是（）

A、11 B、23 C、26 D、30

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3. 下列命题中错误的是（）

A、如果平面 $α ⊥$ 平面 $γ$ ，平面 $β ⊥$ 平面 $γ$ ， $α \cap β = l$ ，那么 $l ⊥ γ$ B、如果平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，那么平面 $α$ 内一定存在直线平行于平面 $β$ C、如果平面 $α$ 不垂直于平面 $β$ ，那么平面 $α$ 内一定不存在直线垂直于平面 $β$ D、如果平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，过 $α$ 内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于 $β$

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4. 已知函数 $f (x) = \sin ω x - \sqrt{3} \cos ω x (ω > 0)$ 的图像与 $x$ 轴的两个相邻交点的距离等于 $\frac{π}{2}$ ，若将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $y = g (x)$ 的图像，则 $y = g (x)$ 是减函数的区间为（）．

A、 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ B、 $(0 ， \frac{π}{3})$ C、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ D、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$

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5. 在平面斜坐标系 $x O y$ 中， $∠ x O y = 45 °$ ，点 $P$ 的斜坐标定义为“若 $\overset{⇀}{O P} = x_{0} e_{1} + y_{0} e_{2}$ (其中 $e_{1} ， e_{2}$ 分别为与斜坐标系的 $x$ 轴、 $y$ 轴同方向的单位向量)，则点 $P$ 的坐标为 $(x_{0} ， y_{0})$ ”.若 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，且动点 $M (x ， y)$ 满足 $| \overset{⇀}{M F_{1}} | = | \overset{⇀}{M F_{2}} |$ ，则点 $M$ 在斜坐标系中的轨迹方程为（）

A、 $x - \sqrt{2} y = 0$ B、 $x + \sqrt{2} y = 0$ C、 $\sqrt{2} x - y = 0$ D、 $\sqrt{2} x + y = 0$

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6. 身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲、丁不相邻的不同的排法种数为（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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7. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{4}{3}$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，则 $m = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{2013}}$ 的整数部分是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 在△ABC中，已知 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9 ， \sin B = \cos A \cdot \sin C ， S_{Δ A B C} = 6$ ，P为线段AB上的点，且 $\vec{C P} = x \cdot \frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + y \cdot \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |} ，则 x y$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是，四个面的面积中最大的是.

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10. 已知实数 $a ， b ， c$ 满足 $a + b = 2 c$ ，则直线 $l : a x － b y + c = 0$ 恒过定点，该直线被圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 所截得弦长的取值范围为.

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11. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (sin α + cos α ， 1) ， \overset{⇀}{b} = (1 ， - 2 cos α) ， \overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = \frac{1}{5} ， α \in (0 ， \frac{π}{2}) .$ 则 $sin α$ =、 $cos α =$ ，设函数 $f (x) = 5 cos (2 x - α) + cos 2 x (x \in R)$ ， $f (x)$ 取得最大值时的x的值是.

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12. 复数 $\frac{1 + a i}{2 - i}$ （ $a \in R ， i$ 为虚数单位）为纯虚数，则复数 $z = a + i$ 的模为.已知 $(1 + x + x^{2}) {(x + \frac{1}{x^{3}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中没有常数项，且 $2 \leq n \leq 8$ ，则 $n =$ .

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13. 将函数 $y = | \frac{1}{2} x - 1 | + | \frac{1}{2} x - 2 | + 1$ 的图像绕原点顺时针方向旋转角 $θ （ 0 \leq θ \leq \frac{π}{2} ）$ 得到曲线 $C$ .若对于每一个旋转角 $θ$ ，曲线 $C$ 都是一个函数的图象，则θ的取值范围是.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ，用[x]表示不超过x的最大整数，则 $[\frac{1}{a_{1} + 1} + \frac{1}{a_{2} + 1} + \dots + \frac{1}{a_{2012} + 1}]$ 的值等于

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15. 三棱锥 $O - A B C$ 中， $O A ， O B ， O C$ 两两垂直且相等，点 $P$ ， $Q$ 分别是 $B C$ 和 $O A$ 上的动点，且满足 $\frac{1}{3} B C \leq B P \leq \frac{2}{3} B C$ ， $\frac{1}{3} O A \leq O Q \leq \frac{2}{3} O A$ ，则 $P Q$ 和 $O B$ 所成角余弦值的取值范围是．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = sin \frac{x}{3} cos \frac{x}{3} + \sqrt{3} {cos}^{2} \frac{x}{3}$

(1)、求函数 $f (x)$ 图象对称中心的坐标；

(2)、如果 $Δ A B C$ 的三边 $a ， b ， c$ 满足 $b^{2} = a c$ ，且边 $b$ 所对的角为 $B$ ，求 $f (B)$ 的取值范围．

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17. 如图，已知平面 $A B C$ $⊥$ 平面 $B C D E$ ， $Δ D E F$ 与 $Δ A B C$ 分别是棱长为1与2的正三角形， $A C$ // $D F$ ，四边形 $B C D E$ 为直角梯形， $D E$ // $B C$ ， $B C ⊥ C D ， C D = 1$ ，点 $G$ 为 $Δ A B C$ 的重心， $N$ 为 $A B$ 中点， $\vec{A M} = λ \vec{A F} (λ \in R ， λ > 0)$ .

（Ⅰ）当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，求证： $G M$ //平面 $D F N$ ；

（Ⅱ）若直线 $M N$ 与 $C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，试求二面角 $M - B C - D$ 的余弦值.

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18. 设直线 $l$ 与抛物线 $x^{2} = 2 y$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $C$ ， $D$ 两点，直线 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ， $O D$ （ $O$ 为坐标原点）的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ， $k_{4}$ ，若 $O A ⊥ O B$ .

(1)、是否存在实数 $t$ ，满足 $k_{1} + k_{2} = t (k_{3} + k_{4})$ ，并说明理由；

(2)、求 $Δ O C D$ 面积的最大值.

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19. 已知函数 $f (x) = \ln (2 a x + 1) + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 2 a x$ （ $a \geq 0$ ）．

(1)、若 $x = 2$ 为 $f (x)$ 的极值点，求实数的值；

(2)、若y= $f (x)$ 在 $[3 ， + \infty)$ 上是单调增函数，求实数的取值范围；

(3)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，方程 $f (1 - x) = \frac{{(1 - x)}^{3}}{3} + \frac{b}{x}$ 有实根，求实数的最大值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{n} \geq 0$ ， $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1}^{2} + a_{n + 1} - 1 = a_{n}^{2} (n \in N^{*})$ ．记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ． $T_{n} = \frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{(1 + a_{1}) (1 + a_{2})} + \dots + \frac{1}{(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) \dots (1 + a_{n})}$
求证：（Ⅰ）当 $n \in N^{*}$ 时（Ⅰ） $0 \leq a_{n} < a_{n + 1} < 1$ ；

（Ⅱ） $S_{n} > n - 2$ ；

（Ⅲ） $T_{n} < 3$

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