2017年山东省莱芜市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-11 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 复数 $\frac{1 - 2 i}{2 + i}$ =（）

A、﹣i B、i C、 $\frac{4}{5} - i$ D、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

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2. 已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=2^x﹣2，x∈A}，则A∩B=（）

A、{0，1} B、{﹣1，1} C、{﹣1，0} D、{﹣1，0，1}

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3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）

A、101 B、808 C、1212 D、2012

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4. 设变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 2 \\ x - y \leq 2 \\ 3 y \geq 2 \end{matrix}$ ，则x²+y²的最小值为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{20}{9}$ D、2

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）

A、8+8π B、8+6π C、6+8π D、6+6π

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6. 已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；
③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．
其中正确命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 若函数 $f (x) = s i n 2 ω x + 2 \sqrt{3} c o s^{2} ω x - \sqrt{3} (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{2} ， π]$ 上单调递减，则ω的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{6} ， \frac{1}{4}]$ B、 $[\frac{1}{6} ， \frac{7}{12}]$ C、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{2}]$ D、 $[0 ， \frac{1}{2}]$

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8. 已知点A（1，2），过点P（5，﹣2）的直线与抛物线y²=4x相交于B，C两点，则△ABC是（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定

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9. 已知函数f（x）=x³﹣6x²+9x，g（x）= $\frac{1}{3}$ x³﹣ $\frac{a + 1}{2}$ x²+ax﹣ $\frac{1}{3}$ （a＞1）若对任意的x₁∈[0，4]，总存在x₂∈[0，4]，使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为（）

A、（1， $\frac{9}{4}$ ] B、[9，+∞） C、（1， $\frac{9}{4}$ ]∪[9，+∞） D、[ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{9}{4}$ ]∪[9，+∞）

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二、填空题

10. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S= ．

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11. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生均有的概率为（结果用最简分数表示）

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12. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为．

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13. 已知点P是椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 在第一象限上的动点，过点P引圆x²+y²=4的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N，则△OMN面积的最小值为．

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14. 若定义域为R的偶函数y=f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，且当x∈[0，2]时，f（x）=2﹣x² ，则方程f（x）=2sinx在[﹣3π，3π]内根的个数是．

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三、解答题

15. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a=2，c=3，求sinC的值．

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16. 已知等比数列{a_n}满足a_n₊₁+a_n=9•2ⁿ^﹣¹ ， n∈N^* ．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n﹣1）a_n ，数列{b_n}的前n项和为S_n ，若不等式S_n＞ka_n+16n﹣26对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \sqrt{2} (m - 1) x + \frac{m}{4}$ ，现有一组数据（数据量较大），从中随机抽取10个，绘制所得的茎叶图如图所示，且茎叶图中的数据的平均数为2．（茎叶图中的数据均为小数，其中茎为整数部分，叶为小数部分）
（Ⅰ）现从茎叶图的数据中任取4个数据分别替换m的值，
求至少有2个数据使得函数f（x）没有零点的概率；
（Ⅱ）以频率估计概率，若从该组数据中随机抽取4个数据分别替换m的值，记使得函数f（x）没有零点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

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18. 已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2， $P A = \sqrt{6}$ ．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若E是PA的中点，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．

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19. 已知直线l与曲线y²=4x（y≥0）交于A，D两点（A在D的左侧），A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．
（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；
（Ⅱ）记△OAD的面积为S₁ ，梯形ABCD的面积为S₂ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的范围．

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20. 已知函数f（x）=e^x[x²+（a+1）x+2a﹣1]．

(1)、当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；

(2)、若关于x的不等式f（x）≤e^a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；

(3)、若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．

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