2017年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-10 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知全集U=R，集合A={x|x²﹣2x≤0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、[﹣1，2] B、[﹣1，0）∪（1，2] C、[0，1] D、（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）

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2. 定义运算 $| \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} |$ =ad﹣bc，复数z满足 $| \begin{matrix} z & 1 \\ i & i \end{matrix} |$ =2+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若随机变量X服从正态分布N（1，4），设P（0＜X＜3）=m，P（﹣1＜X＜2）=n，则m、n的大小关系为（）

A、m＞n B、m＜n C、m=n D、不确定

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4. 若直线x﹣y+m=0被圆（x﹣1）²+y²=5截得的弦长为2 $\sqrt{3}$ ，则m的值为（）

A、1 B、﹣3 C、1或﹣3 D、2

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5. 随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题，济南市创新性的采用“公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心”，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理，计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统（等距）抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号，23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是（）

A、9 B、12 C、15 D、17

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6. 命题p：将函数y=cosx•sinx的图象向右平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位可得到y= $\frac{1}{2}$ cos2x的图象；命题q：对∀m＞0，双曲线2x²﹣y²=m²的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、p是假命题 B、￢p是真命题 C、p∨q是真命题 D、p∧q是假命题

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7. 若实数变量x、y满足约束条件|x+y|+|x﹣2y|≤3，目标函数z=ax﹣y+1（a∈R）．有如下结论：①可行域外轮廓为矩形；②可行域面积为3；③a=1时，z的最小值为﹣1；④a=2时，使得z取最大值的最优解有无数组；则下列组合中全部正确的为（）

A、①② B、②③ C、①③ D、③④

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8. 如图所示，两个非共线向量 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ 的夹角为θ，N为OB中点，M为OA上靠近A的三等分点，点C在直线MN上，且 $\vec{O C}$ =x $\vec{O A}$ +y $\vec{O B}$ （x、y∈R），则x²+y²的最小值为（）

A、 $\frac{4}{25}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 函数f（x）=ax^m（1﹣2x）ⁿ（a＞0）在区间[0， $\frac{1}{2}$ ]上的图象如图所示，则m、n的值可能是（）

A、m=1，n=1 B、m=1，n=2 C、m=2，n=3 D、m=3，n=1

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10. 执行如下框图所示算法，若实数a、b不相等，依次输入a+b，a，b，输出值依次记为f（a+b），f（a），f（b），则f（a+b）﹣f（a）﹣f（b）的值为（）

A、0 B、1或﹣1 C、0或±1 D、以上均不正确

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二、填空题

11. 如果函数f（x）=ln（a﹣3x）的定义域为（﹣∞，2），则实数a= ．

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12. 以曲线 $y = \sqrt{x}$ 与y=x为边的封闭图形的面积为．

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13. 已知抛物线y²=4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A，B分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|+|BD|的最小值为．

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14. 若（3﹣2x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵ ，则a₀+a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅= ．

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15. 祖暅著《缀术》有云：“缘幂势既同，则积不容异”，这就是著名的祖暅原理，如图1，现有一个半径为R的实心球，以该球某条直径为中心轴挖去一个半径为r的圆柱形的孔，再将余下部分熔铸成一个新的实心球，则新实心球的半径为（如图2，势为h时幂为S=π（R²﹣r²﹣h²））

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三、解答题

16. 已知向量 $\vec{m}$ =（2cosωx，﹣1）， $\vec{n}$ =（ $\sqrt{3}$ sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函数f（x）= $\vec{m}$ • $\vec{n}$ ，若函数f（x）图象与x轴的两个相邻交点的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数f（x）在[0， $\frac{π}{2}$ ]上的值域；

(2)、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（A）=1，a=3，BC边上的高线长为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求b、c的值．

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17. 如图，矩形FCEB是圆柱OO₁的轴截面，且FC=1，FB=2，点A、D分别在上下底面圆周上，且在面FCEB的同侧，△OAB是等边三角形，∠ECD=60°，M、N分别是OC、AE的中点．

(1)、求证：MN∥面CDE；

(2)、求二面角C﹣AD﹣E的余弦值．

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18. 2017年4月1日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新3县设立雄安新区，这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事，多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司，若规定每家央企只能在雄县、容城、安新3个片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司，向雄安新区申请建立分公司的任意4家央企中：

(1)、求恰有2家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率；

(2)、用X表示这4家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用Y表示在“容城”或“安新”片区建立分公司的个数，记ξ=|X﹣Y|，求ξ的分布列和数学期望．

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19. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，b_n=﹣1﹣log₂|a_n|，数列{b_n}的前n项和为T_n ， c_n= $\frac{b_{n + 1}}{T_{n} T_{n + 1}}$ ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式与数列{c_n}前n项和A_n；

(2)、对任意正整数m、k，是否存在数列{a_n}中的项a_n ，使得|S_m﹣S_k|≤32a_n成立？若存在，请求出正整数n的取值集合，若不存在，请说明理由．

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20. 平面直角坐标系xOy中，与圆F₁：（x+1）²+y²=1和圆F₂：（x﹣1）²+y²=25都内切的动圆圆心的轨迹记为C，点M（x₀ ， y₀）为轨迹C上任意一点；在直线l：y=3上任取一点P向轨迹C引切线，切点为A、B．

(1)、求动圆圆心轨迹C的方程，并求以M（x₀ ， y₀）为切点的C的切线方程；

(2)、证明：直线AB过定点H，并求出H的坐标；

(3)、过（2）中的定点H作直线AB的垂线交l于点T，求 $\frac{| T H |}{| A B |}$ 的取值范围．

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21. 已知函数f（x）lnx﹣ $\frac{1}{2}$ ax²+ax，a∈R．

(1)、当a＜0时，讨论函数f（x）的极值点的个数；

(2)、若关于x的不等式f（x）≤2ax﹣x﹣1恒成立，求整数a的最小值；

(3)、对于函数f（x）图象上任意给定的两点A（x₁ ， f（x₁））、B（x₂ ， f（x₂）），试判断f（ $\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ ）与 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}}$ 的大小关系（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），并给出证明．

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