2017年全国100所名校高考数学冲刺卷（理科）（3）

试卷更新日期：2017-07-10 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|（x﹣6）（3x+8）＜0}，B={x|y= $\sqrt{x + 1}$ }，则A∩B等于（）

A、[﹣1，6） B、（﹣1，6） C、（﹣ $\frac{8}{3}$ ，﹣1] D、（﹣ $\frac{8}{3}$ ，﹣1）

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2. 已知实数a，b满足（a+2i）•bi=3i+6（i为虚数单位）则在复平面内，复数z=a+bi所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知函数f（x）=2cos（ωx+ $\frac{3}{2}$ π）（ω＞0）的最小正周期为2π，则函数f（x）图象的一条对称轴方程为（）

A、x= $\frac{π}{4}$ B、x= $\frac{π}{2}$ C、x= $\frac{3}{4}$ π D、x=π

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4. 已知P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂），P₃（x₃ ， y₃），P₄（x₄ ， y₄）是抛物线C：y²=8x上的点，F是抛物线C上的焦点，若|PF₁|+|PF₂|+|PF₃|+|PF₄|=20，则x₁+x₂+x₃+x₄等于（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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5. 已知各项均不相等的等比数列{a_n}中，a₂=1，且 $\frac{1}{4}$ a₁ ， a₃ ， $\frac{7}{4}$ a₅成等差数列，则a₄等于（）

A、 $\frac{1}{49}$ B、49 C、 $\frac{1}{7}$ D、7

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6. 如图所示，已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成，两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9 π}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{18 π}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{18}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{9}$

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7. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）=log₂（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）

A、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B、（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞） C、（﹣2，2） D、（﹣4，4）

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8. 名著《算学启蒙》中有如下题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”．这段话的意思是：“松有五尺长，竹有两尺长，松每天增长前一天长度的一半，竹每天增长前一天长度的两倍．”．为了研究这个问题，以a代表松长，以b代表竹长，设计了如图所示的程序框图，输入的a，b的值分别为5，2，则输出的n的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. （x²﹣ $\frac{2}{x}$ +y）⁵的展开式中，含x³y²的项的系数为（）

A、60 B、﹣60 C、80 D、﹣80

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10. 一个放置在水平桌面上的正四棱柱的俯视图如图所示，其中α为锐角，则该几何体的正视图的面积的最大值为（）

A、2或3 B、2 $\sqrt{3}$ 或3 C、1或3 D、2或2 $\sqrt{3}$

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，第二象限的点P（x₀ ， y₀）满足bx₀+ay₀=0，若线段PF₂的垂直平分线恰为双曲线C的过一、三象限的渐近线，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 如果x₀是函数f（x）的一个零点，且在这个零点两侧函数值异号，则称x₀是函数f（x）的一个变号零点，已知函数f（x）=ax²+1+lnx在（ $\frac{1}{e}$ ，e）上有且仅有一个变号零点，则实数a的取值范围为（）

A、[﹣ $\frac{2}{e^{2}}$ ，0） B、[﹣ $\frac{2}{e^{2}}$ ，0）∪{ $- \frac{1}{2}$ e} C、[﹣ $\frac{e}{2}$ ，0） D、[﹣ $\frac{2}{e^{2}}$ ，0]

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二、填空题

13. 面积为4 $\sqrt{3}$ 的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则 $\vec{C D}$ • $\vec{A B}$ = ．

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14. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 x - y + 2 \geq 0 \\ x - 2 y - 1 \leq 0 \\ 2 x + y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则z=x﹣3y的最大值为．

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15. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₁=1，a_n₊₁= ${\begin{matrix} a_{n} + 3 ， \frac{n}{3} \notin N * \\ a_{n} ， \frac{n}{3} \in N * \end{matrix}$ ，则S_3n= ．

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16. 三棱锥D﹣ABC中，AB=CD= $\sqrt{6}$ ，其余四条棱均为2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 已知在△ABC中，角A．B，C所对边分别为a，b，c，C=2A．

(1)、若c= $\sqrt{3}$ a，求A的大小；

(2)、若a，b，c依次为三个连续自然数，求△ABC的面积．

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18. 已知在一次全国数学竞赛中，某市3000名参赛学生的初赛成绩统计如图所示．

(1)、求a的值，并估计该市学生在本次数学竞赛中，成绩在的[80，90）上的学生人数；

(2)、若在本次考试中选取1500人入围决赛，则进入复赛学生的分数应当如何制定（结果用分数表示）；

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19. 如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，∠GDC=90°，点E是线段GC的中点．

(1)、若点P为线段GD的中点，证明：平面APE⊥平面GCD；

(2)、求平面BDE与平面GCD所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，圆x²+y²﹣2y=0的圆心与椭圆C的上顶点重合，点P的纵坐标为 $\frac{5}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若斜率为2的直线l与椭圆C交于A，B两点，探究：在椭圆C上是否存在一点Q，使得 $\vec{P A} = \vec{B Q}$ ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）= $\frac{x^{2}}{2 e}$ ﹣ax．

(1)、若a= $\frac{1}{2}$ ，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程；

(2)、若关于x的不等式f（x）≥ax+b≥lnx﹣ax在（0，+∞）上恒成立，求实数a，b的值．

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22. 已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{3}{2} + t \\ y = \sqrt{3} t \end{matrix}$ （ t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的坐标方程是ρsin²θ﹣6cosθ=0．

(1)、求曲线 C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程；

(2)、求直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|的值．

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23. 已知函数f（x）=2|x﹣2|+3|x+3|．

(1)、解不等式：f（x）＞15；

(2)、若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足4a+25b=m，证明： $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ ≥ $\frac{49}{10}$ ．

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