2017年青海省西宁市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-10 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 复数 $\frac{5 i}{1 - 2 i}$ =（）

A、2﹣i B、1﹣2i C、﹣2+i D、﹣1+2i

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2. 设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a²}则使M∩N=N成立的a的值是（）

A、1 B、0 C、﹣1 D、1或﹣1

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3. 已知平面向量 $\vec{a}$ =（﹣2，m）， $\vec{b}$ = $(1 ， \sqrt{3})$ ，且（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{b}$ ，则实数m的值为（）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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4. 同时具有性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称；③在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上是增函数．”的一个函数为（）

A、 $y = s i n (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ B、 $y = c o s (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})$ C、 $y = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $y = s i n (2 x - \frac{π}{6})$

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5. 某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（）

A、8 B、 $\frac{8}{3}$ C、4 D、 $\frac{4}{3}$

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6. 抛物线y²=16x的焦点为F，点A在y轴上，且满足| $\vec{O A}$ |=| $\vec{O F}$ |，抛物线的准线与x轴的交点是B，则 $\vec{F A}$ • $\vec{A B}$ =（）

A、﹣4 B、4 C、0 D、﹣4或4

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7. 在△ABC中，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的（　　）

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 现有四个函数：①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2^x的图象（部分）如图：
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）

A、①④③② B、③④②① C、④①②③ D、①④②③

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9. 若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log₂3），b=f（log₄5），c=f（ $2^{\frac{3}{2}}$ ），则a，b，c满足（　　）

A、a＜b＜c B、b＜a＜c C、c＜a＜b D、c＜b＜a

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10.
函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，且|AB|=2 $\sqrt{2}$ ，则该函数图象的一条对称轴为（）

A、x= $\frac{π}{2}$ B、x=- $\frac{π}{2}$ C、x=2 D、x=1

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11. 设F₁、F₂分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F₂交椭圆于E，且E是直线EF₁与⊙F₂的切点，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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12. 已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表达式为f（x）= ${\begin{matrix} \sqrt{1 - x^{2}} ， x \in [- 1 ， 0] \\ c o s (\frac{π}{2} x) ， x \in (0 ， 1] \end{matrix}$ ，则函数f（x）与函数g（x）= ${\begin{matrix} 2^{x} ， x \leq 0 \\ 1 - x ， x > 0 \end{matrix}$ 的图象区间[﹣3，3]上的交点个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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二、填空题

13. 2016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，
甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；
乙说：我没去过茶卡天空之境；
丙说：我们三人去过同一个地方．
由此可判断乙去过的地方为．

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14. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ²），且P（X＜5）=0.8，则P（1＜X＜3）= ．

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15. 如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x² ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于

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16. 已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2 $\sqrt{3}$ ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为．

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三、解答题

17. 已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n ，且满足4S_n﹣1=a_n²+2a_n ， n∈N^* ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n= $\frac{1}{a_{n} (a_{n} + 2)}$ ，数列{b_n}的前n项和为T_n ，证明： $\frac{1}{3}$ ≤T_n＜ $\frac{1}{2}$ ．

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18. 为选拔选手参加“中国汉字听写大全”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，每次抽取1人，求在第1次抽取的成绩低于90分的前提下，第2次抽取的成绩仍低于90分的概率．

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19. 如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．

(1)、求证：AC⊥平面BDE；

(2)、设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

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20. $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点A是椭圆上任一点，△AF₁F₂的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（﹣4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记 $\vec{M Q} = λ \vec{Q N}$ ，若在线段MN上取一点R，使得 $\vec{M R} = - λ \vec{R N}$ ，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．

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21. 已知f（x）=lnx﹣x+a+1

(1)、若存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的范围；

(2)、求证：当x＞1时，在（1）的条件下， $\frac{1}{2} x^{2} + a x - a > x l n x + \frac{1}{2}$ 成立．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s α \\ y = \sqrt{5} s i n α \end{matrix}$ （α为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标轴方程为ρcos（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）=2 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

(2)、设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标．

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23. 已知：x、y、z是正实数，且x+2y+3z=1，

(1)、求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ 的最小值；

(2)、求证：x²+y²+z²≥ $\frac{1}{14}$ ．

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