2017年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-07 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 若集合A={x|x＞ $\frac{1}{2}$ 或x＜0}，集合B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，则A∩B等于（）

A、{x| $\frac{1}{2}$ ＜x＜2} B、{x|﹣1＜x＜0或 $\frac{1}{2}$ ＜x＜2} C、{x|﹣1＜x＜ $\frac{1}{2}$ } D、{x|0＜x＜ $\frac{1}{2}$ 或1＜x＜2}

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2. 设i为虚数单位，（﹣3+4i）²=a+bi（a，b∈R），则下列判断正确的是（）

A、|a+bi|=5 B、a+b=1 C、a﹣b=﹣17 D、ab=168

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3. 根据如图，当输入x为2017时，输出的y为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、10 C、4 D、2

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4. 二项式（x﹣ $\frac{1}{x}$ ）ⁿ（n∈N^*）的展开式中存在常数项的一个充分条件是（）

A、n=5 B、n=6 C、n=7 D、n=9

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5. 把函数y=sin（2x﹣ $\frac{π}{6}$ ）的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）

A、x=0 B、x= $\frac{π}{2}$ C、x= $\frac{π}{6}$ D、x=﹣ $\frac{π}{12}$

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6. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈ $\frac{1}{36}$ L²h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈ $\frac{2}{75}$ L²h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）

A、 $\frac{22}{7}$ B、 $\frac{25}{8}$ C、 $\frac{157}{50}$ D、 $\frac{355}{113}$

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7. 如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P，用A表示事件“点P恰好自由曲线 $y = \sqrt{x}$ 与直线x=1及x轴所围成的曲边梯形内”，B表示事件“点P恰好取自阴影部分内”，则P（B|A）等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{7}$

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8. 在等差数列{a_n}中，若a₄+a₆+a₈+a₁₀+a₁₂=120，则a₇﹣ $\frac{1}{3}$ a₅的值为（）

A、8 B、12 C、16 D、72

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9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10. 函数y=2^x⁺¹﹣2x²的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 设点F₁、F₂分别为双曲线： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点P，满足|PF₁|=|PF₂|，点F₁到直线PF₂的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{41}}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{3}$

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12. 已知f（x）= ${\begin{matrix} - 2 x^{2} + 3 x ， - 2 \leq x < 0 \\ l n \frac{1}{x + 1} ， 0 \leq x \leq 2 \end{matrix}$ ，若g（x）=|f（x）|﹣ax﹣a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围为（）

A、[ $\frac{l n 3}{3}$ ， $\frac{1}{e}$ ） B、[ $\frac{l n 3}{3}$ ， $\frac{1}{2 e}$ ] C、（0， $\frac{1}{e}$ ） D、（0， $\frac{1}{2 e}$ ）

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二、填空题

13. 已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A（1，1），C（2，3）， $| \vec{B C} | = 2 | \vec{A C} |$ ，则向量 $\vec{O B}$ 的坐标是．

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14. 已知实数x、y满足 ${\begin{matrix} 2 x - y + 1 \geq 0 \\ x \geq 1 \\ x - 2 y + 3 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围为．

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15. 在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a_m_﹣₁•a_m₊₁=2a_m（m≥2），数列{a_n}的前n项积为T_n ，若T_2m_﹣₁=512，则m的值为．

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16. 过抛物线C：y²=8x的焦点F作直线与C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则| $\frac{A B}{P F}$ |= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，且 $\sqrt{3}$ asinC﹣c（2+cosA）=0．

(1)、求角A的大小；

(2)、若△ABC的最大边长为 $\sqrt{7}$ ，且sinC=2sinB，求最小边长．

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18. 为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如表：
新能源汽车补贴标准
车辆类型
续驶里程R（公里）
100≤R＜180
180≤R＜280
＜280
纯电动乘用车
2.5万元/辆
4万元/辆
6万元/辆
某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了M辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：
分组
频数
频率
100≤R＜180
3
0.3
180≤R＜280
6
x
R≥280
y
z
合计
M
1

(1)、求x、y、z、M的值；

(2)、若从这M辆纯电动乘用车任选3辆，求选到的3辆车续驶里程都不低于180公里的概率；

(3)、如果以频率作为概率，若某家庭在某汽车销售公司购买了2辆纯电动乘用车，设该家庭获得的补贴为X（单位：万元），求X的分布列和数学期望值E（X）．

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19.
如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算 $\frac{A B}{A Q}$ 的值；
（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．

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20. 已知动点M（x，y）到直线l：x=3的距离是它到点D（1，0）的距离的 $\sqrt{3}$ 倍．

(1)、求动点M的轨迹C的方程；

(2)、设轨迹C上一动点T满足： $\vec{O T}$ =2λ $\vec{O P}$ +3μ $\vec{O Q}$ ，其中P、Q是轨迹C上的点，且直线OP与OQ的斜率之积为﹣ $\frac{2}{3}$ ．若N（λ，μ）为一动点，F₁（﹣ $\frac{\sqrt{5}}{6}$ ，0）、F₂（ $\frac{\sqrt{5}}{6}$ ，0）为两定点，求|NF₁|+|NF₂|的值．

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21. 设f（x）=e^x﹣e^﹣^x﹣x．

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、已知g（x）=x²f（x）+（x+1）[f（x）+（1﹣a）x]+（1﹣a）x³ ．若对所有x≥0，都有g（x）≥0成立，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，若直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s α \\ y = y_{0} + t s i n α \end{matrix}$ （t为参数，α为l的倾斜角），曲线E的极坐标方程为ρ=4sinθ．射线θ=β，θ=β+ $\frac{π}{4}$ ，θ=β﹣ $\frac{π}{4}$ 与曲线E分别交于不同于极点的三点A、B、C．

(1)、求证：|OB|+|OC|= $\sqrt{2}$ |OA|；

(2)、当β= $\frac{7 π}{12}$ 时，直线l过B、C两点，求y₀与α的值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣2|+2|x+1|的最小值为m．

(1)、求m的值；

(2)、若a、b、c∈R， $\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ +c²=m，求c（a+b）的最大值．

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新能源汽车补贴标准
车辆类型	续驶里程R（公里）
	100≤R＜180	180≤R＜280	＜280
纯电动乘用车	2.5万元/辆	4万元/辆	6万元/辆

分组	频数	频率
100≤R＜180	3	0.3
180≤R＜280	6	x
R≥280	y	z
合计	M	1