2017年江西省九江市高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-07-07 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 复数z= $\frac{2 - i}{1 - 2 i}$ （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设全集U=R，A={x|x²﹣x﹣6≥0}，B={x|x＞1}，则（∁_UA）∪B=（）

A、{x|x≥﹣2} B、{x|x＞﹣2} C、{x|1＜x＜3} D、{x|1＜x≤3}

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3. 已知数列{a_n}为等比数列，若a₂=2，a₁₀=8，则a₆=（）

A、±4 B、﹣4 C、4 D、5

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4. 已知a=2^1.3 ， b=4^0.7 ， c=ln6，则a，b，c的大小关系为（）

A、a＜b＜c B、b＜c＜a C、c＜a＜b D、c＜b＜a

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5. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 $\sqrt{5}$ ，从C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{8}$ =1 B、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣y²=1 C、 $\frac{x^{2}}{4}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{16}$ =1 D、x²﹣ $\frac{y^{2}}{4}$ =1

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6. 若从集合{1，2，3，4，5}中随机地选出三个元素，则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 执行如图所示的程序框图，如图输出S的值为﹣1，那么判断框内应填入的条件是（）

A、k≤8 B、k≤9 C、k≤10 D、k≤11

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8. 已知实数x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x - y - 2 \geq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \\ y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，z=mx+y的最大值为3，则实数m的值是（）

A、﹣2 B、3 C、8 D、2

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9. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{a_n}称为斐波那契数列，则 $\sum_{i = 1}^{8} (a_{i} a_{i + 2})$ ﹣ $\sum_{i = 1}^{8} a_{i + 1}^{2}$ =（）

A、0 B、﹣1 C、1 D、2

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10. 如图所示，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点G在棱AA₁上，AG= $\frac{1}{3}$ AA₁ ， E，F分别是棱
C₁D₁ ， B₁C₁的中点，过E，F，G三点的截面α将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面α截得的上、下两部分面积之比为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x²=4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、4

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12. 若对任意x∈（0，π），不等式e^x﹣e^﹣^x＞asinx恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、[﹣2，2] B、（﹣∞，e] C、（﹣∞，2] D、（﹣∞，1]

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二、填空题

13. 在（1﹣x³）（2+x）⁶的展开式中，x⁵的系数是．（用数字作答）

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14. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为．

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15. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 3) ， \vec{b} = (- 2 ， 6)$ ，若向量 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为60°，且 $\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = - 10$ ，则 $| \vec{c} |$ = ．

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16. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且满足a₁=1，a_n•a_n₊₁=2S_n ，设b_n= $\frac{a_{n}}{3^{a_{n}}}$ ，若存在正整数p，q（p＜q），使得b₁ ， b_p ， b_q成等差数列，则p+q= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin²B+sin²C=sin²A+2sinBsinCsin（B+C）．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

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18. 某农科所发现，一中作物的年收获量y（单位：kg）与它”相近“作物的株数x具有线性相关关系（所谓两株作物”相近“是指它们的直线距离不超过1m），并分别记录了相近作物的株数为1，2，3，5，6，7时，该作物的年收获量的相关数据如下：
X
1
2
3
5
6
7
y
60
55
53
46
45
41
（Ⅰ）求该作物的年收获量y关于它”相近“作物的株数x的线性回归方程；
（Ⅱ）农科所在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每一个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．（注：年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据）
附：对于一组数据（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…，（x_n ， y_n），其回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ = $\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \cdot {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a}$ = $\bar{y}$ ﹣ $\hat{b} \bar{x}$ ．

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19. 如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°．直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面
ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AF=2AB=2．
（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面EBD；
（Ⅱ）点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ．

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20.
如图所示，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=x被椭圆C截得的弦长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点M（x₀ ， y₀）是椭圆C上的动点，过原点O引两条射线l₁ ， l₂与圆M：（x﹣x₀）²+（y﹣y₀）²= $\frac{2}{3}$ 分别相切，且l₁ ， l₂的斜率k₁ ， k₂存在．
①试问k₁•k₂是否定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；
②若射线l₁ ， l₂与椭圆C分别交于点A，B，求|OA|•|OB|的最大值．

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21. 已知函数f（x）=ax（lnx﹣1）﹣x²（a∈R）恰有两个极值点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式lnx₁+λlnx₂＞1+λ恒成立，求实数λ的取值范围．

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22. 在极坐标系中，点 P的极坐标是 $(\sqrt{3} ， \frac{π}{2})$ ，曲线 C的极坐标方程为 $ρ = 4 c o s (θ - \frac{π}{3})$ ．以极点为坐标原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线 l经过点P．

(1)、写出直线 l的参数方程和曲线 C的直角坐标方程；

(2)、若直线 l和曲线C相交于两点A，B，求 $\frac{| P A |}{| P B |} + \frac{| P B |}{| P A |}$ 的值．

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23. 已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣a|（a∈R）．

(1)、若 a=1，求不等式 f（x）≥5的解集；

(2)、若函数f（x）的最小值为3，求实数 a的值．

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