2017年江苏省盐城市高考数学三模试卷

试卷更新日期：2017-07-07 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知全集U={﹣1，0，2}，集合A={﹣1，0}，则∁_UA= ．

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2. 若复数z满足 $i z = \sqrt{3} - i$ （i为虚数单位），则|z| ．

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3. 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为600人、700人、700人，为了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为．

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4. 若命题“∃t∈R，t²﹣2t﹣a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是．

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5. 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；乙组：87、88、92．如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是．

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6. 执行如图所示的伪代码，输出i的值为．

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7. 设抛物线y²=8x的焦点与双曲线x²﹣ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（b＞0）的右焦点重合，则b= ．

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8. 设x，y满足 ${\begin{matrix} y > 0 \\ y \leq x \\ | x | + | y | \leq 1 \end{matrix}$ ，则z=x+y的最大值为．

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9. 将函数y=sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，恰好得到函数的y=sin2x的图象，则φ的最小值为．

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10. 已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的所有棱长都为2，点P，Q分别为棱CC₁ ， BC的中点，则四面体A₁﹣B₁PQ的体积为．

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11. 设数列{a_n}的首项a₁=1，且满足a_2n₊₁=2a_2n_﹣₁与a_2n=a_2n_﹣₁+1，则S₂₀= ．

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12. 若a，b均为非负实数，且a+b=1，则 $\frac{1}{a + 2 b}$ + $\frac{4}{2 a + b}$ 的最小值为．

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13. 已知A，B，C，D四点共面，BC=2，AB²+AC²=20， $\vec{C D} = 3 \vec{C A}$ ，则| $\vec{B D}$ |的最大值为．

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14. 若实数x，y满足2x﹣3≤ln（x+y+1）+ln（x﹣y﹣2），则xy= ．

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二、解答题

15. 如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，平面A₁ABB₁⊥底面ABCD，且∠ABC= $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求证：B₁C₁∥平面BCD₁；

(2)、求证：平面A₁ABB₁⊥平面BCD₁ ．

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16. 设△ABC面积的大小为S，且3 $\vec{A B}$ • $\vec{A C}$ =2S．

(1)、求sinA的值；

(2)、若C= $\frac{π}{4}$ ， $\vec{A B}$ • $\vec{A C}$ =16，求AC．

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17. 一儿童游乐场拟建造一个“蛋筒”型游乐设施，其轴截面如图中实线所示．ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延长线上，α为锐角）．圆E与AD，BC都相切，且其半径长为100﹣80sinα米．EO是垂直于AB的一个立柱，则当sinα的值设计为多少时，立柱EO最矮？

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18. 已知A、F分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，AF=2PF．

(1)、求椭圆C的离心率；

(2)、若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；

(3)、记圆O：x²+y²= $\frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$ 为椭圆C的“关联圆”．若b= $\sqrt{3}$ ，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证： $\frac{3}{m^{2}}$ + $\frac{4}{n^{2}}$ 为定值．

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19. 设函数f（x）=xe^x﹣ax²（a∈R）．

(1)、若函数g（x）= $\frac{f (x)}{e^{x}}$ 是奇函数，求实数a的值；

(2)、若对任意的实数a，函数h（x）=kx+b（k，b为实常数）的图象与函数f（x）的图象总相切于一个定点．
①求k与b的值；
②对（0，+∞）上的任意实数x₁ ， x₂ ，都有[f（x₁）﹣h（x₁）][f（x₂）﹣h（x₂）]＞0，求实数a的取值范围．

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20. 已知数列{a_n}，{b_n}都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列{c_n}．

(1)、设数列{a_n}，{b_n}分别为等差、等比数列，若a₁=b₁=1，a₂=b₃ ， a₆=b₅ ，求c₂₀；

(2)、设{a_n}的首项为1，各项为正整数，b_n=3ⁿ ，若新数列{c_n}是等差数列，求数列{c_n} 的前n项和S_n；

(3)、设b_n=qⁿ^﹣¹（q是不小于2的正整数），c₁=b₁ ，是否存在等差数列{a_n}，使得对任意的n∈N^* ，在b_n与b_n₊₁之间数列{a_n}的项数总是b_n？若存在，请给出一个满足题意的等差数列{a_n}；若不存在，请说明理由．

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21. 已知AB，CD是圆O两条相互垂直的直径，弦DE交AB的延长线于点F，若DE=24，EF=18，求OE的长．

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22. 已知矩阵A= $[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{matrix}]$ 所对应的变换T把曲线C变成曲线C₁： $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{2}$ =1，求曲线C的方程．

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23. 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+ $\frac{π}{3}$ ）=1．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = r c o s θ \\ y = r s i n θ \end{matrix}$ （θ为参数）．若直线l与圆C相切，求r的值．

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24. 已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3，证明： $\frac{c^{2}}{a}$ + $\frac{a^{2}}{b}$ + $\frac{b^{2}}{c}$ ≥3．

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25. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC= $\sqrt{13}$ ，M在PC上，且PA∥面BDM．

(1)、求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；

(2)、求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．

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26. 一只袋中装有编号为1，2，3，…，n的n个小球，n≥4，这些小球除编号以外无任何区别，现从袋中不重复地随机取出4个小球，记取得的4个小球的最大编号与最小编号的差的绝对值为ξ_n ，如ξ₄=3，ξ₅=3或4，ξ₆=3或4或5，记ξ_n的数学期望为f（n）．

(1)、求f（5），f（6）；

(2)、求f（n）．

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