广东省梅州市2019-2020年高三上学期文数9月第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2019-10-24 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq 1}, B = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）．

A、 ${x | x \geq 1}$ B、 ${x | 1 \leq x < 2}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ D、 ${x | x > - 1}$

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2. 设复数z满足 $(3 + i) z = 3 - i$ ，则 $| z | =$ （）．

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：

参加场数	0	1	2	3	4	5	6	7
参加人数占调查人数的百分比	8%	10%	20%	26%	18%	12%	4%	2%

估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（）．

A、参加活动次数是3场的学生约为360人 B、参加活动次数是2场或4场的学生约为480人 C、参加活动次数不高于2场的学生约为280人 D、参加活动次数不低于4场的学生约为360人

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4. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > 0, b > 0)$ ，直线 $y = b$ 与C的两条渐近线的交点分别为M，N，O为坐标原点．若 $△ O M N$ 为直角三角形，则C的离心率为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 2$ ， $a_{7} = 1$ ．若数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 为等差数列，则 $a_{9} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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6. 已知 $\sin (θ - \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$ ，且 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (θ - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $0$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 如图，线段MN是半径为2的圆O的一条弦，且MN的长为2.在圆O内，将线段MN绕N点按逆时针方向转动，使点M移动到圆O上的新位置，继续将线段 $M N$ 绕 $M$ 点按逆时针方向转动，使点N移动到圆O上的新位置，依此继续转动……点M的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆 $O$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．

A、 $4 π - 6 \sqrt{3}$ B、 $1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2 π}$ C、 $π - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2 π}$

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8. 在边长为 $3$ 的等边 $Δ A B C$ 中，点 $M$ 满足 $\vec{B M}$ $= 2 \vec{M A}$ ，则 $\vec{C M} \cdot \vec{C A} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $6$ D、 $\frac{15}{2}$

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9. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} + 4 ， x \leq 0 ， \\ - x^{3} - x + 5 ， x > 0 \end{array}$ ，当 $x \in [m ， m + 1]$ 时，不等式 $f (2 m - x) < f (x + m)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 4)$ B、 $(- \infty ， - 2)$ C、 $(- 2 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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10. 设函数 $f (x)$ 在R上可导，其导函数为 $f' (x)$ ，且函数 $f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取得极小值，则函数 $y = x f' (x)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知过抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{2} x$ 焦点F的直线与抛物线交于点A，B， $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，抛物线的准线l与x轴交于点C， $A M ⊥ l$ 于点M，则四边形AMCF的面积为（）

A、 $12 \sqrt{3}$ B、 $12$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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12. 若关于 $x$ 的方程 $e^{x} + a x - a = 0$ 没有实数根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- e^{2} ， 0]$ B、 $[0 ， e^{2})$ C、 $(- e ， 0]$ D、 $[0 ， e)$

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二、填空题

13. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - y$ 的最小值等于．

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14. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球体积为 $\frac{32}{3} π$ ，且 $A A_{1} = B C = 2$ ，则直线 $A_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角为．

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15. 将函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x (a ， b \in R ， a \neq 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到一个偶函数图象，则 $\frac{b}{a} =$ ．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n} = λ a_{n} - 1$ （ $λ$ 为常数）．若数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} b_{n} = - n^{2}$ $+ 9 n - 20$ ，且 $b_{n + 1} < b_{n}$ ，则满足条件的 $n$ 的取值集合为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $b \sin (C - \frac{π}{3}) - c \sin B = 0$ .
（Ⅰ）求角 $C$ 的值；

（Ⅱ）若 $a = 4$ ， $c = 2 \sqrt{7}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 为了了解我市特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：

年份 $x$

2014

2015

2016

2017

2018

特色学校 $y$ （百个）

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

（Ⅰ）根据上表数据，计算 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ ，并说明 $y$ 与 $x$ 的线性相关性强弱（已知： $0.75 \leq | r | \leq 1$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性很强； $0.3 \leq | r | \leq 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性一般； $| r | \leq 0.25$ ，则认为 $y$ 与 $x$ 线性相关性较弱）；

（Ⅱ）求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并预测我市2019年特色学校的个数（精确到个）．

参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 10$ ， $\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 1.3$ ， $\sqrt{13} \approx 3.6056$ ， $\overset{⇀}{B F} = (0, - \sqrt{2})$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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19. 如图，三棱台 $A B C - E F G$ 的底面是正三角形，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C G F$ ， $C B = 2 G F$ ， $B F = C F$ .

(Ⅰ)求证： $A B ⊥ C G$ ；

(Ⅱ)若 $Δ A B C$ 和梯形 $B C G F$ 的面积都等于 $\sqrt{3}$ ，求三棱锥 $G - A B E$ 的体积.

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20. 已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ 与焦点为F的抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 相切.
（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 3 a x + a^{2} \ln x (a \in R)$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的 $x \geq e^{2}$ （ $e$ 为自然对数的底数）， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - \frac{1}{2} t \\ y = a + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数， $a \in R$ ）.以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ ，射线 $θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C$ 交于 $O, P$ 两点，直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.
（Ⅰ）求直线 $l$ 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）当 $| A B | = | O P |$ 时，求 $a$ 的值.

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知 $f (x) = |3 x + 2|$ .

(1)、求 $f (x) \leq 1$ 的解集；

(2)、若 $f (x^{2}) \geq a | x |$ 恒成立，求实数 $a$ 的最大值.

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年份 $x$	2014	2015	2016	2017	2018
特色学校 $y$ （百个）	0.30	0.60	1.00	1.40	1.70