浙江省杭州市八校联盟2018-2019学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-10-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $y = x - 1$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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2. 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + m x < 0$ 的解集为 ${x | 0 < x < 2}$ ，则 $m$ 的值等于（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $2$

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3. 若 $A (- 2, 3), B (3, - 2), C (\frac{1}{2}, m)$ 三点共线，则 $m$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G，H分别为 $A A_{1}$ ， $A B$ ， $B B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $G H$ 所成的角等于（）

A、45° B、60° C、90° D、120°

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5. 在 $Δ A B C$ 中，若 $A B = \sqrt{13} ， B C = 3 ， ∠ C = 120^{0}$ ，则 $A C =$ （）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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6. 若 $a < 1 < b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $\frac{b}{a} > 1$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $a b < a + b$

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{6} = 8 a_{3}$ ，则 $\frac{S_{6}}{S_{3}} =$ （）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $18$

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8. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A、 $27$ B、 $30$ C、 $\frac{57}{2}$ D、 $\frac{63}{2}$

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9. 已知 $Δ A B C$ 三内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，若 $A, B, C$ 成等差数列,则（）

A、 $a + c \leq 2 b$ B、 $a + c < 2 b$ C、 $a + c = 2 b$ D、 $a + c \geq 2 b$

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10. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是平行四边形， $M$ 、 $N$ 分别为线段 $P C$ 、 $P B$ 上一点，若 $P M ： M C = 3 ： 1$ ，且 $A N / /$ 平面 $B D M$ ，则 $P N ： N B =$ （）

A、 $4 ： 1$ B、 $3 ： 1$ C、 $3 ： 2$ D、 $2 ： 1$

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二、填空题

11. 已知正方体的表面积为 $24$ ，则其外接球的表面积是，体积是.

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12. 在 $Δ A B C$ 中， $B C = 2, B = \frac{π}{3}$ ，当 $Δ A B C$ 的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $A B =$ ， $\sin C =$ .

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13. 已知直线 $l : k x - y + 1 - 3 k = 0$ ，则直线 $l$ 过定点，当 $k$ 变动时，原点到直线 $l$ 的距离的最大值为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n} a_{n + 1} = 2^{n}$ ，则 $a_{7} =$ .

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15. 已知正数 $a, b, c$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1, \frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a} = 1$ ，则 $c$ 的取值范围是.

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16. 若关于 $x$ 的不等式 $| x^{2} + x | + | 1 - x | \leq a x$ 有解，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1} : x - y + 4 = 0$ 与 $l_{2} : 2 x + y - 1 = 0$ 相交于点 $P$ ，求满足下列条件的直线方程：
(Ⅰ)过点 $P$ 且过原点的直线方程；

(Ⅱ)过点 $P$ 且平行于直线 $l_{3} : x - 2 y - 1 = 0$ 的直线方程.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 10, a_{5} - a_{3} = 4$ .
(Ⅰ)求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(Ⅱ)设等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{2} = a_{3}, b_{3} = a_{7}$ ，问： $b_{6}$ 是数列 ${a_{n}}$ 中的第几项？

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19. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $\frac{2 b - c}{a} = \frac{cos C}{c o s A}$ .
(Ⅰ)求角 $A$ 的大小；

(Ⅱ)若 $a = \sqrt{3}$ ，试求 $Δ A B C$ 的面积的最大值，并判断此时 $Δ A B C$ 的形状.

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20. 如图，已知 $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D / / E A$ ， $Δ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $F$ 为 $A B$ 的中点，且 $A E = 2 C D = 2$ ；
(Ⅰ)求证： $C F / /$ 平面 $B D E$ ；
(Ⅱ)求证：平面 $C D F ⊥$ 平面 $A B E$ ；
(Ⅲ)求直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $3 a_{n + 1} + 2 S_{n} - 1 = 0$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{3}$ .
(Ⅰ)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(Ⅱ)设 $b_{n} = \frac{1}{3^{n} \cdot S_{n}} + 1$ ，证明： $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} < n + \frac{17}{12}$ .

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