山西省太原市2018-2019学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-10-21 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，点 $A （ 1 ， 2 ， 3 ）$ 关于 $y O z$ 平面对称的点的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 2 ， 3)$ B、 $（ 1 ， - 2 ， 3 ）$ C、 $（ 1 ， 2 ， - 3 ）$ D、 $（ - 1 ， - 2 ， - 3 ）$

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2. 由下列主体建筑物抽象得出的空间几何体中为旋转体的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知 $A （ 0 ， 1 ）， B （ 0 ， - 1 ）$ ，则直线AB的倾斜角为（）

A、0° B、90° C、180° D、不存在

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4. 下列四面体中，直线EF与MN可能平行的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知点 $A （ 2 ， 3 ）$ 在直线 $1_{1} ： 2 x + a y ﹣ 1 ＝ 0$ 上，若 $l_{2} ∥ l_{1}$ ，则直线 $l_{2}$ 的斜率为（）

A、2 B、﹣2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 设 $a ， b ， c$ 为三条不同的直线， $α ， β ， γ$ 为三个不同的平面，则下列结论成立的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 且 $b ⊥ c$ ，则 $a ∥ c$ B、若 $α ⊥ β$ 且 $β ⊥ γ$ ，则 $α ∥ γ$ C、若 $a ⊥ α$ 且 $a ∥ b$ ，则 $b ⊥ α$ D、若 $α ⊥ β$ 且 $a ∥ α$ ，则 $a ⊥ β$

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7. 已知圆C的一条直径的端点坐标分别是 $（ 4 ， 1 ）$ 和 $（ - 2 ， 3 ）$ ，则圆C的方程是（）

A、 $（ x + 1 ）^{2} + （ y + 2 ）^{2} ＝ 10$ B、 $（ x ﹣ 1 ）^{2} + （ y ﹣ 2 ）^{2} ＝ 40$ C、 $（ x ﹣ 1 ）^{2} + （ y ﹣ 2 ）^{2} ＝ 10$ D、 $（ x + 1 ）^{2} + （ y + 2 ）^{2} ＝ 40$

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8. 一个长方体由同一顶点出发的三条棱的长度分别为2，2，3，则其外接球的表面积为（）

A、 $68 π$ B、 $17 π$ C、 $28 π$ D、 $7 π$

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9. 已知 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ 2 x - y - 1 \leq 0 \\ x + y + 1 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z ＝ 5 x + 2 y$ 的最大值为（）

A、12 B、16 C、18 D、20

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10. 直线 $a x + y + a ＝ 0$ 与直线 $x + a y + a ＝ 0$ 在同一坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 如图，在正方体 $A B C D ﹣ A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} H ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ ，垂足为H，给出下面结论：
①直线 $A_{1} H$ 与该正方体各棱所成角相等；②直线 $A_{1} H$ 与该正方体各面所成角相等；③过直线 $A_{1} H$ 的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线 $A_{1} H$ 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）

A、①③ B、②④ C、①②④ D、①②③

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12. 一条光线从点 $P （ - 2 ， 4 ）$ 射出，经直线 $x ﹣ y + 2 ＝ 0$ 反射后与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 3 ＝ 0$ 相切，则反射光线所在直线的方程是（）

A、 $x + \sqrt{15} y - 2 ＝ 0$ B、 $\sqrt{15} x + y - 2 ＝ 0$ C、 $x - \sqrt{15} y - 2 ＝ 0$ D、 $\sqrt{15} x - y - 2 ＝ 0$

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二、填空题

13. 已知点 $A （ 3 ， - 3 ）， B （ 0 ， 2 ）$ ，则线段AB的中点坐标是．

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14. 已知直线 $l_{1} ： x - 2 y ＝ 1 ， l_{2} ： m x + （ 3 - m ） y + 1$ ．若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数m＝．

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15. 某三棱锥的三视图如图所示，图中三个三角形均为直角三角形，则 $x^{2} + y^{2} ＝$ ．

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16. $△ A B C$ 中， $∠ C ＝ 90 °$ ， $∠ A ＝ 60 °$ ， $A B ＝ 2$ ，M为AB中点，将 $△ B M C$ 沿CM折叠，当平面 $B M C ⊥$ 平面AMC时，A，B两点之间的距离为．

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标是 $A （ 1 ， 1 ）， B （ 2 ， 3 ）， C （ 3 ， - 2 ）$ ．

(1)、求BC边所在直线的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ．

(1)、求证： $A D_{1} / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求证： $A D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} D C$ ．

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19. 已知圆C的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 t x ﹣ 2 t y + 5 t^{2} - 4 ＝ 0 （ t > 0 ）$ ．

(1)、设O为坐标原点求直线OC的方程；

(2)、设直线 $y ＝ x + 1$ 与圆C交于A，B两点，若 $| A B | ＝ 2 \sqrt{2}$ ，求实数t的值．

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20. 如图，在四棱锥 $P ﹣ A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD为矩形，且 $A D ＝ 2 A B ＝ P A ＝ 2 ， A E ⊥ P D$ ，垂足为E．

(1)、求PD与平面ABCD所成角的大小；

(2)、求三棱锥 $P - A B E$ 的体积．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B ＝ B C ， A D ＝ D C$ ，E为棱PC上不与点C重合的点．

(1)、求证：平面 $B E D ⊥$ 平而PAC；

(2)、若 $P A ＝ A C ＝ 2 ， B D ＝ \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，且二面角 $E - B D - C$ 的平面角为45°，求三棱锥 $P - B E D$ 的体积．

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22. 已知圆 $C_{1} ：（ x - 1 ）^{2} + （ y + 5 ）^{2} ＝ 50$ ，圆 $C_{2} ：（ x + 1 ）^{2} + （ y + 1 ）^{2} ＝ 10 ．$

(1)、证明圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交；

(2)、若圆 $C_{3}$ 经过圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的交点以及坐标原点，求圆 $C_{3}$ 的方程．

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23. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x ﹣ 4 y + 1 ＝ 0$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 ＝ 0$ ．

(1)、试判断圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说明理由；

(2)、若直线 $y ＝ k x + 1$ 与圆 $C_{1}$ 交于A，B两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求实数k的值．

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