2017年湖南省怀化市高考数学一模试卷

试卷更新日期：2017-07-05 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知全集U=R，集合A={x|x²﹣2x﹣8＞0}，B={1，5}，则集合（∁_UA）∩B为（）

A、{x|1＜x＜5} B、{x|x＞5} C、{1} D、{1，5}

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2. 已知复数z=|1﹣i|i²⁰¹⁷（其中i为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、﹣1 B、﹣i C、 $\sqrt{2} i$ D、 $- \sqrt{2}$

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3. 等差数列{a_n}中，a₂+a₈﹣a₁₂=0，a₁₄﹣a₄=2，记s_n=a₁+a₂+…+a_n ，则s₁₅的值为（）

A、30 B、56 C、68 D、78

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4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的n的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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6. 已知x＞0，y＞0， $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$ ，x+2y＞m²﹣2m恒成立，则m的取值范围是（）

A、[﹣6，4] B、[﹣4，6] C、（﹣4，6） D、（﹣6，4）

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7. 现有4人参加抽奖活动，每人依次从装有4张奖票（其中2张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到2张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第3人抽完后结束的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8.
已知一三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁各棱长相等，B₁在底面ABC上的射影是AC的中点，则异面直线AA₁与BC所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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9. 已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点，且过点M（x₀ ， 3），点M到焦点的距离为4，则OM（O为坐标原点）等于（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{21}$ C、 $\frac{\sqrt{45}}{2}$ D、21

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10. 设点M（x，y）满足不等式组 ${\begin{matrix} 3 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ ，点P（﹣4a，a）（a＞0），则当 $\vec{O P} \cdot \vec{O M}$ 最大时，点M为（）

A、（0，2） B、（0，0） C、（4，6） D、（2，6）

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11. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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12. 已知f（x）=（x﹣4）³+x﹣1，{a_n}是公差不为0的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=27，则f（a₅）的值为（）

A、0 B、1 C、3 D、5

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二、填空题

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 一条渐近线与x轴的夹角为30°，那么双曲线的离心率为．

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14. 在二项式 ${(\frac{1}{2 x} + 2 x)}^{n}$ 的展开式中，第一、二项及最后两项的二项式系数之和共为18，则展开式中x⁴的系数为．（用数字作答）

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15. 在平面四边形ABCD中，AB=3，AC=12，cos∠BAC= $\frac{29}{36}$ ， $\vec{A D}$ • $\vec{C D}$ =0，则BD的最大值为．

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16. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 $\vec{A C} = λ \vec{D E} + μ \vec{A P}$ ，则λ+μ的最小值为．

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三、解答题

17. 已知 $\vec{m} = (2 c o s x ， y - 2 \sqrt{3} s i n x c o s x)$ ， $\vec{n} = (1 ， c o s x)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若 $f (\frac{C}{2}) = 3$ ，且 $c = 2 \sqrt{6}$ ，a+b=6，求△ABC的面积．

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18. 为了解人们对城市治安状况的满意度，某部门对城市部分居民的“安全感”进行调查，在调查过程中让每个居民客观地对自己目前生活城市的安全感进行评分，并把所得分作为“安全感指数”，即用区间[0，100]内的一个数来表示，该数越接近100表示安全感越高．现随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：
安全感指数
[0，20）
[20，40）
[40，60）
[60，80）
[80，100]
男居民人数
8
16
226
131
119
女居民人数
12
14
174
122
178
根据表格，解答下面的问题：
（Ⅰ）估算该地区居民安全感指数的平均值；
（Ⅱ）如果居民安全感指数不小于60，则认为其安全感好．为了进一步了解居民的安全感，调查组又在该地区随机抽取3对夫妻进行调查，用X表示他们之中安全感好的夫妻（夫妻二人都感到安全）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．

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19.
如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，∠ADC=120°，AB=2CD=2，平面D₁DCC₁垂直平面ABCD，D₁C⊥AB，M是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：D₁M∥面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若DD₁=2，求平面C₁D₁M和平面ABCD所成的锐角的余弦值．

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20. 已知点F₁（﹣1，0），F₂（1，0），动点M到点F₂的距离是 $2 \sqrt{2}$ ，线段MF₁的中垂线交线段MF₂于点P．
（Ⅰ）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；
（Ⅱ）过点F₂且不与x轴重合的直线L与曲线G相交于A，B两点，过点B作x轴的平行线与直线x=2相交于点C，则直线AC是否恒过定点，若是请求出该定点，若不是请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=lnx﹣ $\frac{a}{x}$ ，g（x）= $\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}$ ﹣1．
（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为 $\frac{3}{2}$ ，求a的值；
（Ⅲ）当a=0时，若x≥1时，恒有x•f（x）≤λ[g（x）+x]成立，求λ的最小值．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4 $\sqrt{2}$ sinθ．
（Ⅰ）将C₂的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设C₁ ， C₂交于A，B两点，点P的坐标为 $(\sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$ ，求|PA|+|PB|．

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23. 设函数 $f (x) = | \frac{x}{2} + \frac{1}{2 a} | + | \frac{x}{2} - \frac{a}{2} | ， (a > 0)$ ．
（Ⅰ）证明：f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（6）＜5，求a的取值范围．

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安全感指数	[0，20）	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100]
男居民人数	8	16	226	131	119
女居民人数	12	14	174	122	178