2017年湖南省湘西州高考数学模拟试卷

试卷更新日期：2017-07-05 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²+x﹣2＜0}，B={x|y=log₂x}，则A∩B=（）

A、（0，2） B、（﹣2，0） C、（0，+∞） D、（0，1）

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2. 已知复数（1+i）z=1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（）

A、i B、1 C、﹣i D、-1

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3. 某学校门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以2秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{8}$

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4. 已知定义在R上的函数f（x）=2^|^x^﹣^m^|+1（m∈R）为偶函数．记a=f（log₂2），b=f（log₂4），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）

A、a＜b＜c B、c＜a＜b C、a＜c＜b D、c＜b＜a

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5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、40 B、 $\frac{80}{3}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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6. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈ $\sqrt[3]{\frac{16}{9} V}$ ．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）

A、d≈ $\sqrt[3]{\frac{16}{9} V}$ B、d≈ $\sqrt[3]{2 V}$ C、d≈ $\sqrt[3]{\frac{300}{157} V}$ D、d≈ $\sqrt[3]{\frac{21}{11} V}$

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7. 已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x²+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a_n（n∈N^*），且{a_n}的前n项和为S_n ，则S_n=（）

A、 $2 - \frac{1}{2^{n - 1}}$ B、 $4 - \frac{1}{2^{n - 2}}$ C、 $2 - \frac{1}{2^{n}}$ D、 $4 - \frac{1}{2^{n - 1}}$

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8. 将函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后，所得函数g（x）的图象关于原点对称，则函数f（x）在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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9. 若执行如图的程序框图，输出S的值为﹣2，则判断框中应填入的条件是（）

A、k＜2 B、k＜3 C、k＜4 D、k＜5

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10. 已知点A（0，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2；② $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ ；③y=x+1．其中，“点距函数”的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x₀ ， y₀），且y₀＜x₀+2，则 $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ 的取值范围是（　　）

A、[﹣ $\frac{1}{3}$ ， 0） B、（﹣ $\frac{1}{3}$ ， 0） C、（﹣ $\frac{1}{3}$ ， +∞） D、（﹣∞，﹣ $\frac{1}{3}$ ）∪（0，+∞）

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12. 如图，已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ= $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{O Q} | = 3 | \vec{O P}$ |，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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二、填空题

13. 已知a，b∈R，若 ${(a x^{2} + \frac{b}{x})}^{6}$ 的展开式中x³项的系数为160，则a²+b²的最小值为．

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14. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos² $\frac{A - B}{2}$ cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣ $\frac{3}{5}$ ．若a=8，b= $\sqrt{3}$ ，那么∠B= ．

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15. 过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）²+（y﹣t）²=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为．

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16. 已知函数f（x）= $\frac{- 2 x + 2}{2 x - 1}$ ，数列{a_n}的通项公式为 $a_{n} = f (\frac{n}{2017}) (n \in N^{*})$ ，则此数列前2017项的和为．

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三、解答题

17. 如图，经过村庄A有两条夹角60°为的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．记∠AMN=θ．

(1)、将AN，AM用含θ的关系式表示出来；

(2)、如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？

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18. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生
（I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p_i（i=1，2，3）；
（II）甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y的值为i（i=1，2，3）的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据．
甲的频数统计图（部分）
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2100
1027
376
697
乙的频数统计图（部分）
运行次数n
输出y的值为1的频数
输出y的值为2的频数
输出y的值为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2100
1051
696
353
当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大；
（III）将按程序摆图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．

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19. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．

(1)、证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

(2)、若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\frac{D C}{B C}$ 的值．

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20. 一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设动直线l与两定直线l₁：x﹣2y=0和l₂：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数f（x）=（a+1）lnx﹣x² ， $g (x) = \frac{x^{2} + a}{x}$ ．

(1)、讨论函数f（x）的单调区间；

(2)、若函数f（x）与g（x）在（0，+∞）上的单调性正好相反．
（Ⅰ）对于 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [\frac{1}{e} ， 3]$ ，不等式 $\frac{1}{f (x_{1}) - g (x_{2})} \leq \frac{1}{t - 1}$ 恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）令h（x）=xg（x）﹣f（x），两正实数x₁、x₂满足h（x₁）+h（x₂）+6x₁x₂=6，证明0＜x₁+x₂≤1．

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22. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + t \cos α \\ y = t \sin α \end{matrix}$ （t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．

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23. 综合题。

(1)、设a，b∈R₊ ， a+b=1，求证 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ≥4．

(2)、已知x+2y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值．

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运行次数n	输出y的值为1的频数	输出y的值为2的频数	输出y的值为3的频数
30	14	6	10
…	…	…	…
2100	1027	376	697