2017年湖南省郴州市高考数学四模试卷

试卷更新日期：2017-07-05 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设集合A={x|x（5﹣x）＞4}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，则a的值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 已知复数 $z = \frac{a + 2 i^{3}}{2 - i}$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣1） B、（4，+∞） C、（﹣1，4） D、（﹣4，﹣1）

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3. 为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知3cos²θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）

A、﹣ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、﹣ $\frac{2}{3}$

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5. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（　　）

A、4.5 B、6 C、7.5 D、9

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6. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）过点 $(\sqrt{2} ， 2 \sqrt{2})$ ，过点（0，﹣2）的直线l与双曲线C的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为 $\frac{2}{3}$ ，则双曲线C的实轴长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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7. 若f（x）为奇函数，且x₀是y=f（x）﹣e^x的一个零点，则下列函数中，﹣x₀一定是其零点的函数是（）

A、y=f（﹣x）•e^﹣^x﹣1 B、y=f（x）•e^x+1 C、y=f（x）•e^x﹣1 D、y=f（﹣x）•e^x+1

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8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{11}{3}$ C、4 D、 $\frac{14}{3}$

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9. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且 $\vec{A B}$ • $\vec{C D}$ =5，则| $\vec{B D}$ |等于（）

A、2 B、4 C、6 D、1

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10. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的右焦点为F₂ ， O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF₂与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF₂|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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11. 如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A₁DE（A₁∉平面ABCD），若M、O分别为线段A₁C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）

A、与平面A₁DE垂直的直线必与直线BM垂直 B、异面直线BM与A₁E所成角是定值 C、一定存在某个位置，使DE⊥MO D、三棱锥A₁﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值

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12. 若曲线f（x）= $\frac{1}{a l n (x + 1)}$ （e﹣1＜x＜e²﹣1）和g（x）=﹣x³+x²（x＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（）

A、（e，e²） B、（e， $\frac{e^{2}}{2}$ ） C、（1，e²） D、[1，e）

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足条件 ${\begin{matrix} x - y + 3 \geq 0 \\ 2 x + y - 4 \geq 0 \\ x \leq 3 \end{matrix}$ 则z=x²+（y+1）²的最小值为．

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14. 把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为．

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15. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移 $\frac{7 π}{24}$ 个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间 $[- \frac{π}{3} ， θ]$ （ $θ > - \frac{π}{3}$ ）上的值域为[﹣1，2]，则θ= ．

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16. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，（a²+b²）tanC=8S，且sinAcosB=2cosAsinB，则cosA= ．

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三、解答题

17. 已知等差数列{a_n}的前n（n∈N*）项和为S_n ， a₃=3，且λS_n=a_na_n₊₁ ，在等比数列{b_n}中，b₁=2λ，b₃=a₁₅+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}的前n（n∈N*）项和为T_n ，且 $(S_{n} + \frac{n}{2}) c_{n} = 1$ ，求T_n ．

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18. 某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．

(1)、求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；

(2)、请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

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19. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC= $\sqrt{2}$ ，点E在AD上，且AE=2ED．
（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？

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20. 已知A是抛物线y²=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q两点．
（Ⅰ）求线段MN的长；
（Ⅱ）若 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ =﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．

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21. 设函数f（x）=e^2x ， g（x）=kx+1（k∈R）．
（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；
（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = a c o s t \\ y = 2 s i n t \end{matrix}$ （t为参数，a＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 $ρ c o s (θ + \frac{π}{4}) = - 2 \sqrt{2}$ ．
（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．

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23. 已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．
（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为 $(b ， \frac{7}{2})$ ，求a+b的值．

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