初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3.3 相似三角形的性质

试卷更新日期：2019-10-16 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 下列命题是真命题的是（）

A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3； B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9； C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3； D、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:9.

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2. 已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）

A、3：5 B、9：25 C、5：3 D、25：9

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3. 如图，在 $▱$ ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是( ）．

A、 $\frac{A M}{B M} = \frac{N E}{D E}$ B、 $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A D}$ C、 $\frac{B C}{M E} = \frac{B E}{B D}$ D、 $\frac{B D}{B E} = \frac{B C}{M E}$

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4. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5. 如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板(即Rt△ACB)中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC=1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）

A、200cm² B、170cm² C、150cm² D、100 cm²

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $D$ 为 $B C$ 边上的一点，且 $∠ C A D = ∠ B$ ．若 $Δ A D C$ 的面积为 $a$ ，则 $Δ A B D$ 的面积为（）

A、 $2 a$ B、 $\frac{5}{2} a$ C、 $3 a$ D、 $\frac{7}{2} a$

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二、填空题

7. 三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB＝∠AOE＝90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为cm．

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三、综合题

8. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

(1)、温故：如图1，在△ $A B C$ 中， $A D$ ⊥ $B C$ 于点 $D$ ，正方形 $P Q M N$ 的边 $Q M$ 在 $B C$ 上，顶点 $P$ ， $N$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，若 BC=a，AD=h，求正方形 $P Q M N$ 的边长(a，h表示)．

(2)、操作：如何能画出这个正方形PQMN呢?
如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作，先在AB上任取一点 $P^{'}$ ，画正方形 $P^{'} Q^{'} M^{'} N^{'}$ ，使 $Q^{'}$ ， $M^{'}$ 在 $B C$ 边上， $N^{'}$ 在△ $A B C$ 内，然后连结 $B N^{'}$ 并延长交 $A C$ 于点N，画 $N M$ ⊥ $B C$ 于点 $M$ ， $N P$ ⊥ $N M$ 交 $A B$ 于点 $P$ ， $P Q$ ⊥ $B C$ 于点 $Q$ ，得到四边形P $P Q M N$ ．

推理：证明图2中的四边形 $P Q M N$ 是正方形．

(3)、拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线截取 $N E = N M$ ，连结 $E Q$ ， $E M$ (如图3)．当∠ $Q E M$ =90°时，求“波利亚线”BN的长（用a、h表示）．

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9. 如图①，在正方形ABCD中，AB=6，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N

(1)、求证：MN=MC；

(2)、若DM：DB=2：5，求证：AN=4BN；

(3)、如图②，连接MC交BD于点G.若BG：MG=3：5，求NG·CG的值

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10. 综合与实践
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．

折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF，如图①；点M为CF上一点，将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在EF上的点N处，展开后连接DN，MN，AN，如图②．

(1)、(一)填一填，做一做：
图②中，∠CMD= °；线段NF= ；

(2)、图②中，试判断△AND的形状，并给出证明．
剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠，使点A落在点A’处，分别得到图③、图④．

(3)、(二)填一填：
图③中阴影部分的周长为；

(4)、图③中，若∠A'GN=80°，则∠A'HD=°；

(5)、图③中的相似三角形(包括全等三角形)共有对；

(6)、如图④点A'落在边ND上，若 $\frac{A' N}{A' D} = \frac{m}{n}$ ，则 $\frac{A G}{A H}$ = (用含m，n的代数式表示)．

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初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.3.3 相似三角形的性质

一、单选题

二、填空题

三、综合题

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