上海市普陀区2018-2019学年九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-10-15 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1. 已知二次函数 $y = (a - 1) x^{2} + 3$ 的图像有最高点，那么的取值范围是（）

A、 $a > 0$ B、 $a < 0$ C、 $a > 1$ D、 $a < 1$

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2. 下列二次函数中，如果图像能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）

A、 $y = 3 x^{2}$ B、 $y = 3 x^{2} + 1$ C、 $y = 3 {(x + 1)}^{2}$ D、 $y = 3 x^{2} - x$

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3. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点D、E分别在 $Δ A B C$ 的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使 $Δ A D E$ 与 $Δ A B C$ 相似，那么这个条件是（）

A、 $∠ A E D = ∠ B$ B、 $∠ A D E = ∠ C$ C、 $\frac{A D}{A X} = \frac{A E}{A B}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$

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4. 已知 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 、 $\overset{⇀}{c}$ 都是非零向量，如果 $\overset{⇀}{a} = 2 \overset{⇀}{c}$ ， $\overset{⇀}{b} = - 2 \overset{⇀}{c}$ ，那么下列说法中，错误的是（）

A、 $\overset{⇀}{a} ∥ \overset{⇀}{b}$ B、 $| \overset{⇀}{a} | ∥ | \overset{⇀}{b} |$ C、 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} = 0$ D、 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 方向相反

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5. 已知⊙ $O_{1}$ 和⊙ $O_{2}$ ，其中⊙ $O_{1}$ 为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）

A、1 B、4 C、5 D、8

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中， $\frac{D E}{B C} = \frac{2}{3}$ ； $\frac{B D}{A D} = \frac{1}{3}$ ； $\frac{C_{Δ A D E}}{C_{Δ A B C}} = \frac{2}{3}$ ； $\frac{S_{Δ A D E}}{S_{四边形 D B C E}} = \frac{4}{5}$ ，正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7. 如果 $\frac{x}{y} = \frac{7}{2}$ ，那么 $\frac{x - 2 y}{y}$ 的值是．

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8. 化简： $3 (\overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b}) - 2 (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ = ．

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9. 如果抛物线 $y = 2 x^{2} + x + m - 1$ 经过原点，那么 $m$ 的值等于．

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10. 将抛物线 $y = \frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 4$ 先右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是．

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11. 已知抛物线 $y = 2 x^{2} + b x - 1$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，那么 $b$ 的值等于．

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12. 已知 $Δ A B C$ 三边的比为 $2 : 3 : 4$ ，与它相似的 $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ 最小边的长等于12，那么 $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ 最大边的长等于．

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13. 在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°}$ ，AB=3，BC=1，那么 $∠ A$ 的正弦值是．

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14. 正八边形的中心角等于度．

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15. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB $⊥$ BC，BD $⊥$ DC， $\tan ∠ A B D = \frac{1}{2}$ ，BC=5，那么DC的长等于．

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16. 如图，AB//CD，AD、BC相交于点E，过点E作EF//CD交BD于点F，如果 $A B ： C D = 2 ： 3$ ，EF=6，那么CD的长等于．

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17. 已知二次函数 $y = a x^{2} + c$ （ $a > 0$ ）的图像上有纵坐标分别为 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“<”、“=”或“>”）

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18. 如图， $Δ A B C$ 中，AB=AC=8， $\cos B = \frac{3}{4}$ ，点D在边BC上，将 $Δ A B D$ 沿直线AD翻折得到 $Δ A E D$ ，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD=2，那么EF= ．

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三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19. 计算： $4 \sin 45^{°} + \cos^{2} 30^{°} - \frac{2 \cot 45^{°}}{\tan 60^{°} - \sqrt{2}}$ ．

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20. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G， $A G ： G E = 3 ： 1$ ．

(1)、求 $E C ： B C$ 的值；

(2)、设 $\overset{⇀}{B A} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A O} = \overset{⇀}{b}$ ，那么 $\overset{⇀}{E C}$ = ．

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21. 如图，⊙ $O_{1}$ 和⊙ $O_{2}$ 相交于A、B两点， $O_{1} O_{2}$ 与AB交于点C， $O_{2} A$ 的延长线交⊙ $O_{1}$ 于点D，点E为AD的中点，AE=AC，联结 $O_{1} E$ ．

(1)、求证： $O_{1} E = O_{1} C$ ；

(2)、如果 $O_{1} O_{2} = 10$ ， $O_{1} E = 6$ ，求⊙ $O_{2}$ 的半径长．

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22. 如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB//DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度 $i = 1 ： 2.4$ ．小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为 $45^{°}$ ，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为 $31^{°}$ （点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．
（参考数值： $\sin 31^{°} \approx 0.52$ ， $c o s 31^{°} \approx 0.86$ ， $t a n 31^{°} \approx 0.6$ ）

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23. 已知：如图， $Δ A D E$ 的顶点E在 $Δ A B C$ 的边BC上，DE与AB相交于点F， $A E^{2} = A F \cdot A B$ ， $∠ D A F = ∠ E A C$ ．

(1)、求证： $Δ A D E$ ∽ $Δ A C B$ ；

(2)、求证： $\frac{D F}{D E} = \frac{C E}{C B}$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于点A（ $- 1$ ，0）和点B，且OB=3OA，与 $y$ 轴交于点C，此抛物线顶点为点D．

(1)、求抛物线的表达式及点D的坐标；

(2)、如果点E是 $y$ 轴上的一点（点E与点C不重合），当BE $⊥$ DE时，求点E的坐标；

(3)、如果点F是抛物线上的一点，且 $∠ F B D = 135^{°}$ ，求点F的坐标．

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25. 如图，点O在线段AB上，AO=2OB=2 $a$ ， $∠ B O P = 60^{°}$ ，点C是射线OP上的一个动点．

(1)、如图①，当 $∠ A C B = 90^{°}$ ，OC=2，求 $a$ 的值；

(2)、如果②，当AC=AB时，求OC的长（用含 $a$ 的代数式表示）；

(3)、在第（2）题的条件下，过点A作AQ//BC，并使 $∠ Q O C = ∠ B$ ，求 $A Q ： O Q$ 的值．

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