江苏省镇江市2018-2019学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-10-12 类型：期中考试

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一、填空题

1. 抛物线y²=6x的准线方程为．

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2. 直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体是．

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3. 已知圆锥底面半径为1，高为 $\sqrt{3}$ ，则该圆锥的侧面积为．

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4. 圆C₁：x²+y²+2x+2y=0和圆C₂：x²+y²﹣6x+2y+6=0的公切线有．

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5. 已知正四棱锥的侧面积为4 $\sqrt{2}$ ，底面边长为2，则该四棱锥的体积．

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6. 已知抛物线y²=8x的焦点是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的右焦点，则双曲线的渐近线方程为．

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7. 已知l，m是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，在下列给出的4个命题中，所有真命的序号为．
①l⊥α，m⊂α⇒l⊥m ②l∥α，m⊂α⇒l∥m③α⊥β，α⊥γ⇒β∥γ ④α⊥β，l⊥β⇒l∥α

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8. 已知地球表面及约是火星表面积的4倍，则地球体积是火星体积的．

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9. 若抛物线y²=2x上的一点M到坐标原点O的距离为 $\sqrt{3}$ ，则点M到该抛物线焦点的距离为．

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10. 双曲线C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₁作一条直线l交双曲线右支于点P，PF₂⊥x轴，且sin∠PF₁F₂= $\frac{1}{3}$ ，则双曲线的离心率为

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11. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为B，左焦点为F，直线BF与直线x+y﹣3 $\sqrt{2}$ =0垂直，垂足为M，且点B为线段MF的中点，该椭圆方程为．

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12. 已知圆柱M的底面半径为2，高为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为．

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13. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题：
①D₁P∥平面A₁BC₁；②D₁P⊥BD；③平面PDB₁⊥平面A1BC₁；④三棱锥A₁﹣BPC₁的体积不变．则其中所有正确的命题的序号是．

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右顶点分别为A，B，直线l斜率大于0，且l经过椭圆的右焦点F，与椭圆交于两点P，Q，若△AFP，△BFQ的面积分别为S₁ ， S₂ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3}{2}$ ，则直线l的斜率为．

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二、解答题

15. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D，E分别为棱AB，BC的中点，点F在侧棱B₁B上，且B₁E⊥C₁F，A₁C₁⊥B₁C₁ ．

(1)、求证：DE∥平面A₁C₁F；

(2)、求证：B₁E⊥平面A₁C₁F

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16. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD，E，F分别是线段PA，PD的中点，H在线段AB上．

(1)、求证：PC⊥AF；

(2)、若平面PBC∥平面EFH，求证H是AB的中点；

(3)、若AD=4，AB=2，求点D到平面PAC的距离．

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17. 已知圆M的方程为x²+（y﹣2）²=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．

(1)、若点P的横坐标为1，求切线PA，PB的方程；

(2)、若点P的纵坐标为a，且在圆M上存在点Q到点P的距离为1，求实数a的取值范围．

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18. 在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西a（a为锐角）角方向航行，速度为40km/h．已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响．

(1)、若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值？

(2)、若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续多少时间？

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19. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2 $\sqrt{3}$ ，一条准线方程为x= $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；

(3)、若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F为椭圆E： $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的右焦点，过F作两条相互垂直的直线AB，CD，与椭圆E分别交于A，B和点C，D．

(1)、当AB= $\frac{5}{7} C D$ 时，求直线AB的方程；

(2)、直线AB交直线x=3于点M，OM与CD交于P，CO与椭圆E交于Q，求证：OM∥DQ．

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