河北省沧州市七县2018-2019学年高二上学期文数期中考试试卷

试卷更新日期：2019-10-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的短轴长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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2. 命题“若x≥1，则2^x+1≥3”的逆否命题为（）

A、若2^x+1≥3，则x≥1 B、若2^x+1＜3，则x＜1 C、若x≥1，则2^x+1＜3 D、若x＜1，则2^x+1≥3

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3. 从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A、至少2个白球，都是红球 B、至少1个白球，至少1个红球 C、至少2个白球，至多1个白球 D、恰好1个白球，恰好2个红球

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4. 已知多项式 $f (x) = 4 x^{5} + 2 x^{4} + 3.5 x^{3} - 2.6 x^{2} + 1.7 x - 0.8$ ，用秦九韶算法计算 $f (5)$ 时的 $v_{1}$ 值为（）

A、20 B、564.9 C、22 D、14130.2

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5. 阅读程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（）

A、S=2*i-2 B、S=2*i-1 C、S=2*i D、S=2*i+4

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6. 已知命题p：∃x∈R，mx²＋1≤0，命题q：∀x∈R，x²＋mx＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是（）

A、(－∞，－2) B、[－2，0) C、(－2，0) D、(0，2)

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7. 某产品的广告费用 $x$ (单位：万元)与销售额 $y$ (单位：万元)的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售为（）

A、63.6万元 B、65.5万元 C、67.7万元 D、72.0万元

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8. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm x$

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9. 下列说法错误的是（）

A、 $\exists x \in R$ , $x^{3} < 0$ B、一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真 C、“ $x \neq 3$ ”是“ $| x | \neq 3$ ”成立的必要条件 D、“若 $\sin α = \sin β$ ，则 $α = β$ ”的逆否命题是真命题

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10. 在区间[0，1]上任取两个数a，b，则函数f（x）=x²+ax+b²无零点的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (3, 0)$ ，过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A$ 、 $B$ 两点.若 $A B$ 的中点坐标为 $(1, - 1)$ ，则 $E$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{27} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{27} + \frac{y^{2}}{18} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

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12. 已知点F₁ ， F₂分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF₂是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(1, \sqrt{3})$ B、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{2})$ C、 $(1 + \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(1, 1 + \sqrt{2})$

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二、填空题

13. 甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为．

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14. 已知一组数据 $x_{1}, x_{2} ， \dots, x_{n}$ 的方差为2，若数据 $a x_{1} ＋ b, a x_{2} ＋ b, \dots, a x_{n} ＋ b, (a > 0)$ 的方差为8，则 $a$ 的值为.

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15. 以抛物线 $C$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A 、 B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D 、 E$ 两点.已知 $| A B | = 4 \sqrt{2}$ ， $| D E | = 2 \sqrt{5}$ 。则 $C$ 的焦点到准线的距离为.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $cos B = - \frac{7}{18}$ 。若以 $A ， B$ 为焦点的椭圆经过点 $C$ ，则该椭圆的离心率 $e =$ 。

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三、解答题

17. 设命题 $p$ :实数 $x$ 满足 $x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} < 0$ ,其中 $a > 0$ ,命题 $q :$ 实数 $x$ 满足 ${\begin{matrix} x^{2} - x - 6 \leq 0 \\ x^{2} + 2 x - 8 > 0 \end{matrix}$ ，若 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的充分不必要条件,求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 某城市 $100$ 户居民的月平均用电量（单位：度），以 $[160 ， 180)$ ， $[180 ， 200)$ ， $[200 ， 220)$ ， $[220 ， 240)$ ， $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ ， $[280 ， 300]$ 分组的频率分布直方图如图．

(1)、求直方图中的值；

(2)、求月平均用电量的众数和中位数；

(3)、在月平均用电量为 $[220 ， 240)$ ， $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ ， $[280 ， 300]$ 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 $[220 ， 240)$ 的用户中应抽取多少户？

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19. 某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温

x

(℃)与该小卖部的这种饮料销量

y

(杯)，得到如下数据：

日期	1月11日	1月12日	1月13日	1月14日	1月15日
平均气温 $x$ (℃)	9	10	12	11	8
销量 $y$ (杯)	23	25	30	26	21

(1)、请根据所给五组数据，求出

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(2)、据(1)中所得的线性回归方程，若天气预报1月16日的白天平均气温7(℃)，请预测该奶茶店这种饮料的销量.

(参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i =}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i =}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \hat{y} - \hat{b} x$ )

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20. 如图，已知 $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $A B = 8$ ， $M ， N ， P$ 是将半圆圆周四等分的三个分点．

(1)、从 $A ， B ， M ， N ， P$ 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；

(2)、在半圆内任取一点 $S$ ，求 $Δ S A B$ 的面积大于 $8 \sqrt{2}$ 的概率．

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21. 已知直线 $l : x = - 1$ ， $F (1, 0)$ ， $P$ 是 $l$ 的动点，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线，线段 $P F$ 的中垂线交 $l_{1}$ 于点 $M$ ， $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 且与坐标轴不垂直的直线交曲线 $C$ 于 $A 、 B$ 两点，若以线段 $A B$ 为直径的圆与直线 $3 x + 4 y + 3 = 0$ 相切，求直线 $A B$ 的方程.

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22. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）经过点 $(\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，点 $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $E$ 的左焦点 $F$ 任作一直线 $l$ ，交椭圆 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，求 $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q}$ 的取值范围.

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