安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-10-10 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y - 2018 = 0$ 的倾斜角等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、不存在

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2. 平行于直线x+2y+1=0且与圆x²+y²=4相切的直线的方程是（）

A、x+2y+5=0或x+2y﹣5=0 B、 $x + 2 y + 2 \sqrt{5} = 0$ 或 $x + 2 y - 2 \sqrt{5} = 0$ C、2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D、 $x - 2 y + \sqrt{5} = 0$ 或 $x - 2 y - \sqrt{5} = 0$

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3. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001,002,……，699,700.从中抽取70个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42

84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04

32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45

A、623 B、328 C、253 D、007

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4. 年劳动生产率 $x$ （千元）和工人工资 $y$ （元）之间回归方程为 $y = 10 + 70 x$ ，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（）

A、增加70元 B、减少70元 C、增加80元 D、减少80元

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5. 执行下面的程序框图，则输出 $K$ 的值为（）

A、98 B、99 C、100 D、101

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6. 直线 $a x + a y - 1 = 0$ 与圆 $a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} - 2 a + 1 = 0$ 有公共点 $(x_{0} ， y_{0})$ ，则 $x_{0} \cdot y_{0}$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、2

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7. 已知点Q是点P（5，4，3）在平面xOy上的射影，则线段PQ的长等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 如果数据x₁ ， x₂ ， …x_n的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为s² ，则5x₁+2，5x₂+2，…5x_n+2的平均数和方差分别为（）

A、 $\bar{x}$ ，s B、5 $\bar{x}$ +2，s² C、5 $\bar{x}$ +2，25s² D、 $\bar{x}$ ，25s²

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9. 在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（）

A、127 B、128 C、128.5 D、129

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10. 下列说法中正确的是（）

A、“ $f (0) = 0$ ” 是“函数 $f (x)$ 是奇函数” 的充要条件 B、若 $p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} - x_{0} - 1 > 0$ ，则 $\neg p ： \forall x \in R ， x^{2} - x - 1 < 0$ C、若 $p \land q$ 为假命题，则 $p ， q$ 均为假命题 D、“若 $α = \frac{π}{6}$ ，则 $sin α = \frac{1}{2}$ ” 的否命题是“若 $α \neq \frac{π}{6}$ ，则 $sin α \neq \frac{1}{2}$ ”

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11. 袋中装有3个黑球，4个白球，从中任取4个球，则
①至少有1个白球和至少有1个黑球；②至少有2个白球和恰有3个黑球；③至少有1个黑球和全是白球；④恰有1个白球和至多有1个黑球．在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（）

A、① B、② C、③ D、④

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12. 若直线 $y = x + b$ 与曲线 $y = 3 - \sqrt{4 x - x^{2}}$ 有公共点，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[1 - \sqrt{2} ， 1 + \sqrt{2}]$ B、 $[1 - \sqrt{2} ， 3]$ C、 $[1 - 2 \sqrt{2} ， 3]$ D、 $[- 1 ， 1 + \sqrt{2}]$

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二、填空题

13. 直线 $(a - 1) x - y + 2 a + 1 = 0$ 恒过定点．

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14. 某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是．

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15. 一名射箭运动员5次射箭命中环数的“茎叶图”如图，则他5次射箭命中环数的方差为．

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16. 已知圆 $C$ 的圆心在坐标原点，截直线 $x - 9 y + 41 = 0$ 所得的弦长为 $\sqrt{82}$ ，则圆的方程为．

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三、解答题

17. 已知直线 $2 x + y + 2 = 0$ 和 $a x + 4 y - 2 = 0$ 互相垂直.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求两直线的交点坐标.

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18. 去年“十•一”期间，昆曲高速公路车辆较多．某调查公司在曲靖收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速（ $k m / h$ ）分成六段： $[60 ， 65)$ ， $[65 ， 70)$ ， $[70 ， 75)$ ， $[75 ， 80)$ ， $[80 ， 85)$ ， $[85 ， 90)$ 后，得到如图的频率分布直方图．

（I）调查公司在抽样时用到的是哪种抽样方法？

（II）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；

（III）若从这40辆车速在 $[60 ， 70)$ 的小型汽车中任意抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在 $[65 ， 70)$ 的概率．

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19. 有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：

气温 $x (° C)$

0

4

12

19

27

热奶茶销售杯数 $y$

150

132

130

104

94

（Ⅰ）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ （ $\hat{b}$ 精确到0.1），若某天的气温为 $15 ° C$ ，预测这天热奶茶的销售杯数；

（Ⅱ）从表中的5天中任取两天，求所选取两天中至少有一天热奶茶销售杯数大于130的概率．

参考数据： $4^{2} + 12^{2} + 19^{2} + 27^{2} = 1250$ ， $4 \times 132 + 12 \times 130 + 19 \times 104 + 27 \times 94 = 6602$ .

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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20. 已知动点 $M$ 到点 $A (4, 0)$ 的距离是它到点 $B (- 2, 0)$ 的距离的两倍．

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、过坐标原点 $O$ 作直线 $l$ 与轨迹 $E$ 交于两点，若这两点间的距离为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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21. 为了了解甲、一两个工厂生产的轮胎的宽度说法达标，分别从两厂随机个选取了10个轮胎，经每个轮胎的宽度（单位： $m m$ ）记录下来并绘制出如下的折线图：

(1)、分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值

(2)、轮胎的宽度在 $[194 ， 196]$ 内，则称这个轮胎是标准轮胎
（i）若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率？

（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？

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22. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ ，直线 $l : 3 x - y - 6 = 0$ .
(I)求圆 $C$ 的圆心及半径；

(Ⅱ)求直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦 $A B$ 的长度．

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气温 $x (° C)$	0	4	12	19	27
热奶茶销售杯数 $y$	150	132	130	104	94