湖北省老河口市2019届九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-10-09 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 解一元二次方程x²﹣8x﹣5=0，用配方法可变形为（）

A、（x﹣4）²=21 B、（x﹣4）²=11 C、（x+4）²=21 D、（x+4）²=11

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3. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 2 k = 0$ 有实数根，则k的取值范围是 $($ $)$

A、 $k \geq - 2$ B、 $k > - 2$ C、 $k < - 2$ D、 $k \leq - 2$

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4. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 $y ($ 米 $)$ 与小球运动的时间 $x ($ 秒 $)$ 之间的关系式为 $y = {ax}^{2} + bx + c (a \neq 0) .$ 若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是 $($ $)$

A、第8秒 B、第10秒 C、第12秒 D、第15秒

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5. 抛物线 $y = - 3 x^{2} - x + 4$ 与坐标轴的交点个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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6. 若a是方程 $2 x^{2} - x - 3 = 0$ 的一个解，则 $6 a^{2} - 3 a$ 的值为 $($ $)$

A、3 B、 $- 3$ C、9 D、 $- 9$

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7. 如图，已知圆的半径是5，弦AB的长是6，则圆心O到弦AB的距离 $($ 弦心距 $)$ 是 $($ $)$

A、3 B、4 C、5 D、8

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8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=1，BP=5，∠APC=30°，则CD的长为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、4 $\sqrt{2}$ D、6

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9. 当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x²﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）

A、1 B、2 C、1或2 D、0或3

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10. 如图所示，在等边 $△ ABC$ 中，点D是边AC上一点，连接BD，将 $△ BCD$ 绕着点B逆时针旋转 $60^{\circ}$ ，得到 $△ BAE$ ，连接ED，则下列结论中：① $AE / / BC$ ；② $∠ DEB = 60^{\circ}$ ；③ $∠ ADE = ∠ BDC$ ；④ $∠ AED = ∠ ABD$ ，其中正确结论的序号是 $($ $)$

A、①② B、①③ C、②③ D、①②④

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二、填空题

11. 一元二次方程 $x^{2} + 2 \sqrt{2} x - 6 = 0$ 的根是.

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12. 将抛物线 $y = x^{2} - 4 x - 4$ 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为.

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13. 在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，则参加聚会的有名同学.

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14. 已知 $⊙ O$ 的直径为10cm，AB，CD是 $⊙ O$ 的两条弦， $AB / / CD$ ， $AB = 6 cm$ ， $CD = 8 cm$ ，则弦AB和CD之间的距离是cm.

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15. 已知实数x，y满足 $x^{2} - 3 x + 2 y = 6$ ，则 $x + 2 y$ 的最大值是.

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16. 如图， $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}$ ， $∠ ABC = 30^{\circ}$ ， $BC = 2 \sqrt{3}$ ， $△ ABC$ 绕点C顺时针旋转得 $△ A_{1} B_{1} C$ ，当 $A_{1}$ 落在AB边上时，连接 $B_{1} B$ ，取 ${BB}_{1}$ 的中点D，连接 $A_{1} D$ ，则 $A_{1} D$ 的长度是.

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三、解答题

17. 解方程： $(2 x + 1) (4 x - 2) = {(2 x - 1)}^{2} + 1$

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18. 已知抛物线 $y = {ax}^{2} + bx - 3 (a \neq 0)$ 经过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, - 3)$ ，请求出该抛物线的顶点坐标.

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19. 如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ BAC = 30^{\circ}$ ，将 $△ ABC$ 尧点A按逆时针方向旋转后得 $△ {AB}_{1} C_{1} .$ 当 $B_{1} B / / AC$ 时，求 $∠ {BAC}_{1}$ 的度数.

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20. 如图，一农户要建一个矩形鸭舍，鸭舍的一边利用长为13m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门 $.$ 所围矩形鸭舍的长、宽分别为多少时，鸭舍面积为 $96 m^{2}$ ？

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21. 如图，点O在 $∠ MAN$ 的边AN上，以O为圆心的圆交AM于B，C两点，交AN于D，E两点，若 $AO = 2 \sqrt{3}$ ， $AB = 2$ ， $∠ BOC = 60^{\circ}$ ，求 $⊙ O$ 的半径r.

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22. 如图，在 $△ ABC$ 中， $AB = BC$ ，将 $△ ABC$ 绕顶点B逆时针方向旋转 $40^{\circ}$ 至 $△ A_{1} {BC}_{1}$ 的位置，AB与 $A_{1} C_{1}$ 相交于点D，AC与 $A_{1} C_{1}$ ， ${BC}_{1}$ 分别交于点E，F.

(1)、求证： $BD = {BF}_{1}$ ；

(2)、若 $∠ C = 40^{\circ}$ ，求证：四边形 $A_{1} BCE$ 是菱形.

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23. 某民俗村为了维护消费者利益，限定村内所有商品的利润率不得超过 $50 %$ ，村内一商店以每件16元的价格购进一批商品，该商品每件售价定为x元，每天可卖出 $(170 - 5 x)$ 件，每天销售该商品所获得的利润为y元.

(1)、求y与x的函数关系式；

(2)、若每天销售该商品要获得280元的利润，每件商品的售价应定为多少元？

(3)、求商店每天销售该商品可获得的最大利润.

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24. 在 $△ ABC$ 和 $△ DCE$ 中， $∠ ACB = ∠ DCE = 90^{\circ}$ ， $AC = BC$ ， $DC = EC$ .

(1)、如图1，点D在BC上，求证： $AD = BE$ ， $AD ⊥ BE$ .

(2)、将图1中的 $△ DCE$ 绕点C按逆时针方向旋转到图2所示的位置，旋转角为 $α (α$ 为锐角 $)$ ，线段DE，AE，BD的中点分别为P，M，N，连接PM，PN.
$①$ 请直接写出线段PM，PN之间的关系，不需证明；

$②$ 若 $AE = 2 PM$ ，求 $α$ .

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25. 如图所示，已知抛物线y＝ax²（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点.

(1)、请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax²＜kx﹣2的解集；

(2)、当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；

(3)、是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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