山西省太原市2018-2019学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-09-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {x | 0 < x < 1}$ ，则（）

A、 $B \subseteq A$ B、 $A \subseteq B$ C、 $A = B$ D、 $A \cap^{} B = \emptyset$

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2. 函数 $f (x) = x + \frac{1}{\sqrt{x}}$ 的定义域为（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $R$ D、 ${x | x \neq 0}$

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3. 若集合 $A = {x | x^{2} - 4 x - 5 = 0}$ ， $B = {x | x^{2} = 1}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${- 1, 1, 5}$ B、 ${5, - 1}$ C、 ${- 1}$ D、 ${1, - 1}$

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4. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} x$ ，且 $f (a) = 2$ ，则 $a =$ （）

A、4 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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5. 已知集合A={0，1}，若B∪A=A，则满足该条件的集合B的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $y = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$ B、 $y = x | x |$ C、 $y = lg | x |$ D、 $y = x^{\frac{1}{2}}$

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7. 已知 $a = {0.4}^{3}$ ， $b = 3^{0.4}$ ， $c = {log}_{4} 0.3$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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8. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 0 < x < 9 ， x \in R}$ 和 $B = {x | - 4 < x < 4 ， x \in Z}$ 关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、无穷多个

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9. 已知集合 $A = {x | a x^{2} - 3 x + 2 = 0}$ 中有且只有一个元素，那么实数 $a$ 的取值集合是（）

A、 ${\frac{9}{8}}$ B、 ${0, \frac{9}{8}}$ C、 ${0}$ D、 ${0, \frac{2}{3}}$

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10. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{2 - x}{2 + x}$ ，则函数 $f (x)$ 的图象（）

A、关于 $x$ 轴对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于直线 $y = x$ 对称 D、关于原点对称

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{3} + 1, x \leq 1 \\ \frac{2}{x}, x > 1 \end{matrix}$ ，若对任意的实数 $x$ 都存在 $x_{1} \in R$ ，使得 $f (x) \leq f (x_{1})$ 成立，则 $x_{1} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{{(x + c)}^{2}}$ 的图象如图所示，则函数 $g (x) = a x^{2} + b x - c$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {1, 2, 4}$ ，则 $C_{U} A =$ ．

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14. 函数 $y = 2^{x} - 1$ 在 $[1, 3]$ 上的最大值为．

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = m + {(\frac{1}{2})}^{x}$ ，那么 $f (- 1) =$ ．

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16. 已知λ∈R，函数 $f (x) = {\begin{matrix} x - 4 ， x \geq λ \\ x^{2} - 4 x + 3 ， x < λ \end{matrix}$ ，若函数y=f（x）的图象与x轴恰有两交点，则实数λ的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {a, b, 2}$ ， $B = {2, b^{2}, 2 a}$ ，若 $A = B$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值.

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18.

(1)、已知 ${log}_{x} 8 = 6$ ，求 $x$ 的值；

(2)、已知 ${log}_{3} (x^{2} - 10) = 1 + {log}_{3} x$ ，求 $x$ 的值.

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19. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(3, \frac{1}{3})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $g (x) = (x - 2) \cdot f (x)$ ，求函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 1]$ 上的值域．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + a$ 在区间 $(- \infty, 2)$ 上有最小值．

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，设函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，证明函数 $g (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上为增函数.

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21. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} (4 x)$ ， $g (x) = {log}_{2} x$ 的图象如图所示点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 在函数 $y = f (x)$ 的图象上，点 $C (x_{3} ， y_{3})$ 在函数 $y = g (x)$ 图象上，且线段 $A C$ 平行于 $y$ 轴．

(1)、证明： $y_{1} - y_{3} = 2$ ；

(2)、若 $Δ A B C$ 为以角 $C$ 为直角的等腰直角三角形，求点 $B$ 的坐标．
说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答

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22. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + k \cdot 2^{- x}$ ， $k \in R$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求实数 $k$ 的值．

(2)、若对任意的 $x \in [0, + \infty)$ 都有 $f (x) > 2^{- x}$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $x \geq 0$ 时， $f (x) = | x - 2 | - 2$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式并在如图所示的坐标系中作出函数 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、若对任意的 $x \in R$ 有 $f (x - a) \leq f (x) (a > 0)$ 恒成立，求实数 $a$ 的最小值．

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