内蒙古包头市昆区2018-2019学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-09-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 4 < x < 3}$ ， $B = {x | x \leq 2}$ ，则 $A \cap^{} B = ($ $)$

A、 $(- \infty ， 2]$ B、 $(- \infty ， 3)$ C、 $(- 4 ， 3)$ D、 $(- 4 ， 2]$

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2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

A、y=x+1 B、y=-x³ C、y=x|x| D、y= $\frac{1}{x}$

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3. 下图给出4个幂函数的图象，则图像与函数的大致对应是（）

A、 $① y = x^{\frac{1}{3}} ， ② y = x^{2} ， ③ y = x^{\frac{1}{2}} ， ④ y = x^{- 1}$ B、 $① y = x^{3} ， ② y = x^{2} ， ③ y = x^{\frac{1}{2}} ， ④ y = x^{- 1}$ C、 $① y = x^{2} ， ② y = x^{3} ， ③ y = x^{\frac{1}{2}} ， ④ y = x^{- 1}$ D、 $① y = x^{\frac{1}{3}} ， ② y = x^{\frac{1}{2}} ， ③ y = x^{2} ， ④ y = x^{- 1}$

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4. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} 1 - \frac{x}{2} (x < 1) \\ 2^{- x} (x \geq 1) \end{matrix}$ ， $f (f (- 2)) = ($ $)$

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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5. 若函数 $y = x^{2} + (2 a - 1) x + 1$ 在区间 $(- \infty, 2]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{3}{2}]$

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6. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{2} < 2^{x} \leq 2}$ ， $B = {x | ln (x - \frac{1}{2}) \leq 0}$ ，则 $A \cap^{} (C_{R} B)$ =（）

A、 $\emptyset$ B、 $(- 1, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(- 1, 1]$

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7. 已知 $x = {1.1}^{0.1}$ ， $y = {0.9}^{1.1}$ ， $z = {log}_{\frac{2}{3}} \frac{4}{3}$ ，则x ， y ， z的大小关系是 $($ $)$

A、 $x > y > z$ B、 $y > x > z$ C、 $y > z > x$ D、 $x > z > y$

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8. 若 $a > 1$ ， $b > 1$ 且 $lg (1 + \frac{b}{a}) = lg b$ ，则 $lg (a - 1) + lg (b - 1)$ 的值（）

A、 $1$ B、 $lg 2$ C、 $0$ D、不是常数

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9. 若 $x$ ， $y \in R$ ，且 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，则函数 $f (x)$ 满足 $($ $)$

A、 $f (x)$ 为增函数且为偶函数 B、 $f (0) = 0$ 且 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 为增函数且为奇函数 D、 $f (0) = 0$ 且 $f (x)$ 为奇函数

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10. 定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x₁ ， x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ ＜0，且f（2）=0，则不等式 $\frac{2 f (x) + f (- x)}{5 x}$ ＜0解集是（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup^{} (2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup^{} (0 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 0) \cup^{} (2 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 0) \cup^{} (0 ， 2)$

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11. 若函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[0 ， 2]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (2 x)}{x - 1}$ 的定义域是（）

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[0 ， 1)$ C、 $[0 ， 1) \cup (1 ， 4]$ D、 $(0 ， 1)$

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12. 函数 $y = {log}_{a} x$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上恒有 $| y | > 1$ ，则实数a的取值范围是 $($ $)$

A、 $(\frac{1}{2} ， 1) \cup^{} (1 ， 2)$ B、 $(0 ， \frac{1}{2}) \cup^{} (1 ， 2)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2}) \cup^{} (2 ， + \infty)$

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13. 已知 $f (x) = {\begin{matrix} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ {log}_{a} x, x \geq 1 \end{matrix}$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的减函数,那么 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, \frac{1}{3})$ C、 $[\frac{1}{7}, \frac{1}{3})$ D、 $[\frac{1}{7}, 1)$

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14. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{3}$ ，若不等式 $f (- 4 t) > f (2 m + m t^{2})$ 对任意实数 $t$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \sqrt{2})$ B、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ C、 $(- \infty ， 0) \cup^{} (\sqrt{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \sqrt{2}) \cup^{} (\sqrt{2} ， + \infty)$

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二、填空题

15. 若幂函数 $f (x) = x^{m - 1}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数，则实数m的取值范围是．

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16. 函数 $f (x) ＝ l o g_{a} (3 x － 2) + 2 (a > 0 ， a \neq 1)$ 恒过定点．

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17. 已知 $f (x - 1) = x^{2} + 4 x - 5$ ，则 $f (x)$ 的表达式是．

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18. 函数 $f (x) = {log}_{2} (- x^{2} + 4 x)$ 的单调递减区间是．

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19. 已知 $2^{a} = 7^{b} = m$ ， $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} = \frac{1}{2}$ ，则 $m =$ ．

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20. 若函数 $f (x) = | 4 x - x^{2} | + a$ 的图象与x轴有四个不同的交点，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

21. 计算下列各式的值：

(1)、 $4^{- \frac{1}{2}} - {(π + 1)}^{0} + {(\frac{64}{27})}^{\frac{2}{3}}$ ；

(2)、 ${log}_{3} \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + lg 25 + lg 4 + 7^{{log}_{7} 2} + {log}_{2} 3 \cdot {log}_{9} 4.$

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + 1} + a$ 是奇函数．

(1)、求实数a的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在R上的单调性并证明；

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23. 已知 ${(\frac{1}{2})}^{x} \leq 4$ 且 ${log}_{\sqrt{3}} x \leq 2$ ，求函数 $f (x) = 9^{x} - 3^{x + 1} - 1$ 的最大值和最小值．

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24. 设 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对于任意正实数 $m, n$ 恒 $f (m \cdot n) = f (m) + f (n)$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0, f (\frac{1}{3}) = - 1$ .

(1)、求 $f (3)$ 的值；

(2)、求证： $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 2 + f (\frac{3}{x - 6})$ .

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25. 已知函数 $f (x) = {log}_{a} (a x^{2} - x + 1)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．
（Ⅰ）当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

（Ⅱ）当 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4}, \frac{3}{2}]$ 上为增函数时，求实数 $a$ 的取值范围.

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