河北省定州市2018-2019学年高一上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2019-09-26 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = \sqrt{9 - x^{2}}}$ ， $B = {y | y = 2^{x}}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $(- 3, 3)$ B、 $[- 3, 3]$ C、 $(0, 3]$ D、 $[0, 3)$

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2. 下列选项中的两个函数表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = \sqrt{1 + x} \sqrt{1 - x}$ 与 $g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ C、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 3} \sqrt{x - 3}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 9}$

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3. 下表是某次测量中两个变量

x, y

的一组数据,若将

y

表示为关于

x

的函数,则最可能的函数模型是（）

$x$	2	3	4	5	6	7	8	9
$y$	0.63	1.01	1.26	1.46	1.63	1.77	1.89	1.99

A、一次函数模型 B、二次函数模型 C、指数函数模型 D、对数函数模型

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} {(\frac{1}{2})}^{x}, x \geq 4 \\ f (x + 1), x < 4 \end{cases}$ ，则 $f (2 + \log_{2} 3)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{24}$

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5. 已知函数 $y = {log}_{a} (x + 3) - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $A$ ，若点 $A$ 也在函数 $f (x) = 3^{x} + b$ 的图象上，则 $f ({log}_{3} 2) =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

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6. 设 $a = {log}_{5} 6 - {log}_{5} 2$ ， $b = {0.4}^{e}$ ， $c = 10^{\frac{1}{2} lg 5}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）．

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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7. 设奇函数 $f (x)$ 在(0，＋∞)上为单调递减函数，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $\frac{2 f (- x) + f (x)}{x} \geq 0$ 的解集为（）

A、(－∞，－1]∪(0，1] B、[－1，0]∪[1，＋∞) C、(－∞，－1]∪[1，＋∞) D、[－1，0)∪(0，1]

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8. 函数 $y = \frac{x a^{x}}{| x |} (a > 1)$ 的图像的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其命名的“高斯函数”为：设 $x \in R,$ 用[ $x$ ]表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、{0,1} B、{0} C、{-1,0} D、{-1,0,1}

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10. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + \frac{c}{x} + 5$ ,满足 $f (- 3) = 2$ ,则 $f (3)$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、7 D、8

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11. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} {(1 - 2 a)}^{x} ， x \leq 1 \\ \log_{a} x + \frac{1}{3} ， x > 1 \end{matrix}$ ，当x₁≠x₂时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ＜0，则a的取值范围是（）

A、（0， $\frac{1}{3}$ ] B、[ $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ] C、（0， $\frac{1}{2}$ ] D、[ $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{3}$ ]

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 4^{| x - 1 |} ， x > 0 \\ - x^{2} - 4 x + 1 ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 2 a f (x) + a + 2 = 0$ 有 $8$ 个不等的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{18}{7})$ B、 $(1 ， \frac{9}{4})$ C、 $(2 ， \frac{18}{7})$ D、 $(2 ， \frac{9}{4})$

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二、填空题

13. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} （ \frac{1}{2} ）^{x} - 7, x < 0 \\ \sqrt{x}, x \geq 0 \end{matrix}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 1$ 解集为．

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14. 已知幂函数 $y = (a^{2} - a -1) x^{a + 2}$ 为偶函数，则函数 $y = {log}_{a} (x^{2} + 2 x - 3)$ 的单调递减区间是.

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15. 设 $A, B$ 是两个非空集合，定义运算 $A \times B = {x | x \in A \cup^{} B, 且 x \notin A \cap^{} B}$ ．已知 $A = {x | y = \sqrt{2 x - x^{2}}}$ ， $B = {y | y = 2^{x}, x 〉 0}$ ，则 $A \times B =$ .

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16. 对于函数 $f (x), g (x)$ ，设 $α \in {x | f (x) = 0}, β \in {x | g (x) = 0}$ ，若存在 $α, β$ ，使得 $| α - β | \leq 1$ ，则称 $f (x), g (x)$ 互为“零点相邻函数”.若 $f (x) = e^{x - 1} + x - 2$ 与 $g (x) = x^{2} - a x - a - 2$ 互为“零点相邻函数”，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知不等式 $\frac{x - 3}{x - 1} \geq 0$ 的解集为 $A$ ，函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x} (- 2 \leq x \leq 0)$ 的值域为 $B$ ．

(1)、求 $C_{R} A \cap^{} B$ ；

(2)、若 $C = {y | 2 a - 1 < y < a + 1}$ ，且 $B \cap^{} C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{2 + 2^{x + 1}}, x \in (- 2, 2)$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f (x - 3) > 0$ 的解集.

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19. 已知函数 $f (x) = b \cdot a^{x} (a, b 为常数且 a > 0, a \neq 1)$ 的图象经过点 $A (1, 8), B (3, 32)$ ，

(1)、试求 $a, b$ 的值；

(2)、若不等式 $a^{x} + b^{x} - 2 m \geq 1$ 在 $x \in [- 1, 2]$ 有解，求 $m$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + \infty)$ ，且对一切 $x > 0$ ， $y > 0$ 都有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 1$ 时，有 $f (x) > 0$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性并加以证明；

(2)、若 $f (4) = 2$ ，求 $f (x)$ 在 $[1 ， 8]$ 上的值域．

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21. 某乡镇为了进行美丽乡村建设，规划在长为10千米的河流 $O C$ 的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为曲线段 $O A B$ ，设曲线段 $O A B$ 为函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ， $x \in [0 ， 6]$ （单位：千米）的图象，且曲线段的顶点为 $A (4 ， 4)$ ；观光带的后一部分为线段 $B C$ ，如图所示.

(1)、求曲线段 $O A B C$ 对应的函数 $y = f (x) ， x \in [0 ， 10]$ 的解析式；

(2)、若计划在河流 $O C$ 和观光带 $O A B C$ 之间新建一个如图所示的矩形绿化带 $M N P Q$ ，绿化带由线段 $M Q ， Q P ， P N$ 构成，其中点 $P$ 在线段 $B C$ 上．当 $O M$ 长为多少时，绿化带的总长度最长？

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22. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 4 a x + b (a > 0)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上有最大值1和最小值 $- 2$ ．

(1)、求 $g (x)$ 解析式；

(2)、对于定义在 $(1 ， 4]$ 上的函数 $h (x) = {log}_{2} x$ ，若在其定义域内，不等式 $g (h (x) + 4) \leq h (x^{2}) + h (x) m + 3$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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