备考2020年高考数学一轮复习：30 数列求和

试卷更新日期：2019-09-05 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n} = \frac{1}{n (n + 2)}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前10项和 $S_{10}$ 为（）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{11}{24}$ C、 $\frac{175}{132}$ D、 $\frac{175}{264}$

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2. 已知数列： $\frac{1}{2}$ ； $\frac{1}{2^{2}}$ ， $\frac{2}{2^{2}}$ ， $\frac{3}{2^{2}}$ ； $\frac{1}{2^{3}}$ ， $\frac{2}{2^{3}}$ ，…， $\frac{7}{2^{3}}$ ；…， $\frac{1}{2^{n}}$ ， $\frac{2}{2^{n}}$ ， $\frac{3}{2^{n}}$ ，… $\frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$ ；…，则此数列的前2036项之和为（）

A、1024 B、2048 C、1018 D、1022

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3. 若数列 ${b_{n}}$ 满足： $\frac{b_{1}}{2} + \frac{b_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{b_{n}}{2^{n}} = 2 n (n \in N *)$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 为 $($ 　　 $)$

A、 $2^{n + 1}$ B、 $4 \cdot 2^{n} - 4$ C、 $2^{n + 2} - 2$ D、 $2^{n + 2} - 4$

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4. 数列1 $\frac{1}{2}$ ， $2 \frac{1}{4}$ ，3 $\frac{1}{8}$ ，4 $\frac{1}{16}$ ，…的前n项和为（）

A、 $\frac{1}{2}$ (n²＋n＋2)－ $\frac{1}{2^{n}}$ B、 $\frac{1}{2}$ n(n＋1)＋1－ $\frac{1}{2^{n - 1}}$ C、 $\frac{1}{2}$ (n²－n＋2)－ $\frac{1}{2^{n}}$ D、 $\frac{1}{2}$ n(n＋1)＋2(1－ $\frac{1}{2^{n}}$ )

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5. $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{4 \times 6} + \dots + \frac{1}{n (n + 2)} =$ （）

A、 $\frac{1}{n (n + 2)}$ B、 $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{n + 2})$ C、 $\frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})$ D、 $\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{n + 1})$

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 各项均为正数，若 $a_{1} = 1 ， a_{n + 2} + 2 a_{n + 1} = 8 a_{n ，}$ 则 ${a_{n}}$ 的前6项和为（）

A、 $1365$ B、 $63$ C、 $\frac{63}{32}$ D、 $\frac{1365}{1024}$

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7. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ，且对任意整数 $n$ ，总有 $(a_{n + 1} - 1) (1 - a_{n}) = 2 a_{n}$ 成立，则数列 ${a_{n}}$ 的前2018项的和为（）

A、 $588$ B、 $589$ C、 $2018$ D、 $2019$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n ，且S_n＝n²＋4n，若首项为 $\frac{1}{3}$ 的数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{1}{b_{n + 1}} - \frac{1}{b_{n}} = a_{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前10项和为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} = - \frac{2}{3}$ ，且 $S_{n} + \frac{1}{S_{n}} + 2 = a_{n} (n \geq 2)$ ，则 $S_{2018} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 1, a_{n + 1} + a_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} - a_{n}}$ 则数列 ${\frac{1}{a_{n + 1} + a_{n}}}$ 的前15项和为（）

A、3 B、4 C、127 D、128

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11. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + n}$ ，则其前 $n$ 项和 $S_{n} =$ （）

A、 $\frac{2 n}{n + 1}$ B、 $\frac{n + 1}{2 n}$ C、 $\frac{(n + 1) n}{2}$ D、 $\frac{n^{2} + n + 2}{n + 1}$

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12. 数列 $1 \frac{1}{2} ， 2 \frac{1}{4} ， 3 \frac{1}{8} ， 4 \frac{1}{16} ， \dots$ 前 $n$ 项的和为（）

A、 $1 - \frac{1}{2^{n}} + \frac{n^{2} + n}{2}$ B、 $- \frac{1}{2^{n}} + \frac{n^{2} + n}{2}$ C、 $- \frac{1}{2^{n + 1}} + \frac{n^{2} - n}{2}$ D、 $\frac{1}{2^{n}} + \frac{n^{2} + n}{2}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ，数列 ${a_{n}}$ 是公比大于0的等比数列，且 $a_{6} = 1$ ， $f (a_{1}) + f (a_{2}) + f (a_{3}) + \cdot \cdot \cdot + f (a_{9}) + f (a_{10}) = - a_{1}$ ，则 $a_{1} =$ .

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14. 记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} ＝ \frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $14$ 项的和等于

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n \cdot 2^{n}$ ，则其前n项和 $S_{n} =$ ．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ ，若 $a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n} = 2 n$ ，则数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和为.

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17. 观察如下规律：
1， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{7}$ ， $\frac{1}{7}$ ， $\frac{1}{7}$ ， $\frac{1}{7}$ ， $\frac{1}{7}$ ， $\frac{1}{7}$ ， $\frac{1}{7}$ ， $\frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{9}$ ……
该组数据的前2025项和为.

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三、解答题

18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．若 $a_{1} = b_{1} = 3$ ， $a_{4} = b_{2}$ ， $S_{4} - T_{2} = 12$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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19. 已知 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $a_{2}$ ， $a_{4}$ 是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的根
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 的前 $n$ 项和.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + \frac{1}{2} a_{n} = 3$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 ${\frac{n a_{n}}{2}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知递增的等差数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{2} \cdot a_{3} = 6$ ， $a_{1} + a_{4} = 5$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 对任意正整数 $n$ 都满足 $b_{n} = 2^{a_{n}} + \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项的和 $S_{n}$ .

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{5} = 10$ ， $S_{4} = 20$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b {}_{n}= \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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23. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} < 2$ ， $a_{n} > 0$ ， $6 S_{n} = a_{n}^{2} + 3 a_{n} + 2$ ， $n \in N *$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若对 $\forall n \in N *$ ， $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n}^{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前2n项的和 $T_{2 n}$ ．

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