备考2020年高考数学一轮复习：26 数系的扩充与复数的引入

试卷更新日期：2019-09-04 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 若z（1+i）=2i，则z=（）

A、-1-i B、-1+i C、1-i D、1+i

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2. 设z=-3+2i，则在复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知复数z=2+i，则 $z · \bar{z}$ =（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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4. 已知 $i$ 是虚数单位，则 $(2 + i) i =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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5. 若复数 $z_{1} 、 z_{2}$ 满足 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ ，则 $z_{1} 、 z_{2}$ 在复数平面上对应的点 $Z_{1} 、 Z_{2}$ （）

A、关于 $x$ 轴对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于原点对称 D、关于直线 $y = x$ 对称

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6. 复数 $z = \frac{2 + 3 i}{i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 复数 $\frac{2}{1 - i}$ ( $i$ 为虚数单位)的共轭复数是（）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 - i$

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8. 已知 $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位，若 $z = a - \sqrt{3} i ， z \cdot \bar{z} = 4$ ，则 $a =$ （）

A、1或 $- 1$ B、 $\sqrt{7}$ 或 $- \sqrt{7}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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9. 已知复数 $\frac{a + 3 i}{1 - 2 i}$ 是纯虚数，则实数a为（）

A、-6 B、6 C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10. 设复数 $z_{1} = - 1 + 2 i$ ， $z_{2} = 2 + i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、 $- 4$ B、3i C、 $- 3 + 4 i$ D、-4+3i

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11. 设复数 $z$ 满足 $\frac{1 - z}{1 + z} = 2 i$ ,则 $z =$ （）

A、 $- \frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$ B、 $- \frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $\frac{3}{5} - \frac{4}{5} i$

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12. 已知 $z = a - i^{2019}$ ，且 $| z + i | = 3$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、0 B、1 C、 $\pm \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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二、填空题

13. 已知复数 $(a + 2i)(1 + i)$ 的实部为0，其中 $i$ 为虚数单位，则实数a的值是.

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14. 复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ （i为虚数单位），则|z|=

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15. $i$ 是虚数单位，则 $| \frac{5 - i}{1 + i} |$ 的值为.

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16. 设i为虚数单位，复数z=i(4+3i)的模为。

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17. 若复数 $(a^{2} - 2 a) + (a^{2} - a - 2) i$ ( $a \in R$ )为纯虚数，则 $a =$ .

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18. 已知复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 2 + a i$ （其中 $i$ 为虚数单位），若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 为实数，则实数 $a$ 的值为．

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19. 若复数 $z = 2 m^{2} - 3 m - 2 + (m^{2} - 3 m + 2) i$ 是纯虚数，则实数 $m$ 的值为．

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三、解答题

20. 已知 $z$ 为复数， $z - 2 i ， \frac{z}{2 + i}$ 均为实数（其中 $i$ 为虚数单位），且复数 ${(z + m i)}^{2}$ 在复平面上对应的点在第二象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知复数 $z_{1} = 2 + ai$ （其中 $a \in R$ 且 $a > 0, i$ 为虚数单位），且 $z_{1}^{2}$ 为纯虚数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $z = \frac{z_{1}}{1 - i}$ ，求复数 $z$ 的模 $| z |$ ．

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22. 已知复数 $Z = (m^{2} + 2 m) + (m^{2} - 2 m - 3) i, m \in R$ （i为虚数单位）．

(1)、当 $m = 1$ 时，求复数 $\frac{z}{1 + i}$ 的值；

(2)、若复数 $Z$ 在复平面内对应的点位于第二象限，求 $m$ 的取值范围．

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23. 已知复数 $z = 2 + i$ （i是虚数单位）是关于x的实系数方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 根.

(1)、求 $p + q$ 的值；

(2)、复数 $w$ 满足 $z \cdot w$ 是实数，且 $| w | = 2 \sqrt{5}$ ，求复数 $w$ 的值.

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24. 设复数 $z_{1} = 2 + a i (a \in R)$ ，复数 $z_{2} = 3 - i$ ．
（Ⅰ）若 ${(z_{1} + z_{2})}^{2} \in R$ ，求实数 $a$ 的值.

（Ⅱ）若 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = b + \frac{1}{2} i$ ，求实数 $a ， b$ 的值.

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