备考2020年高考数学一轮复习：25 平面向量的数量积

试卷更新日期：2019-09-04 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 设向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $\overset{⇀}{a} = (- 2, 1), \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} = (2, 3)$ ，则 $cos θ =$ （）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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2. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2| $\vec{b}$ |，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 已知向量 $\vec{A B} = (2, 1)$ ，点 $C (- 1, 0)$ ， $D (4, 5)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 方向上的投影为（）

A、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $- 3 \sqrt{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, - 1), \vec{b} = (λ, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 为钝角时， $λ$ 的取值范围为（）

A、 $λ > \frac{1}{2}$ B、 $λ < - \frac{1}{2}$ C、 $λ > - \frac{1}{2}$ 且 $λ \neq 2$ D、无法确定

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5. 已知向量a,b的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且|a|=1,|b|=4,则a·b=（）

A、2 B、1 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 若 $\overset{⇀}{a} = (3, 4), \overset{⇀}{b} = (5, 12),$ 则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{63}{65}$ B、 $\frac{33}{65}$ C、 $- \frac{33}{65}$ D、 $- \frac{63}{65}$

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7. 已知 $| \vec{a} | = 6, | \vec{b} | = 3, \vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、4 B、-4 C、-2 D、2

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8. 已知 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $60 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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9. 已知非零单位向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} - \vec{a}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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10. 已知 $\overset{⇀}{a} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $|\vec{b}|$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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11. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |= $\sqrt{2}$ ，且 $\vec{a}$ ⊥（ $\vec{a}$ +2 $b$ ），则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为（）

A、1 B、-1 C、 $\sqrt{2}$ D、- $\sqrt{2}$

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12. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (4 ， \sqrt{3})$ ， $\overset{⇀}{b} = (1 ， 5 \sqrt{3})$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2, 2) \vec{, b} = (- 8, 6)$ ，则 $\cos < \vec{a}, \vec{b} > =$ .

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14. 已知 $| \vec{a} | = 5, | \vec{b} | = 3$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影等于

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15. 已知向量 $\vec{a}$ =(m，3)， $\vec{b}$ =(m+2，1)，若 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ =| $\vec{a}$ |² ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为。

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16. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{b}$ |=1， $\vec{a}$ ²- $\frac{10}{3}$ $\vec{a}$ · $\vec{b}$ +1=0，则 $\vec{b}$ ·（2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ )的取值范围是．

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17. 已知 $| \overset{⇀}{a} | = 2, \overset{⇀}{b}$ 是单位向量，且 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $\overset{⇀}{a} \cdot (\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ 等于．

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三、解答题

18. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, 2)$ , $\vec{b} = (x, - 1)$
（I）若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ,求 $x$ ；

（Ⅱ）若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ,求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所成夹角的余弦值．

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19. 已知向量 $\vec{a} = (4, 3), \vec{b} = (1, 2)$ ．

(1)、设 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $c o s θ$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 垂直，求实数 $λ$ 的值．

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20. 已知向量 $\vec{m} = (c o s x, - 1)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \sin x, - \frac{1}{2})$ ．

(1)、当 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ 时，求 $sin 2 x$ ．

(2)、当 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ 时，求 $tan (2 x - \frac{π}{3})$ ．

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21. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $| 3 \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{7}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| 2 \vec{a} + 3 \vec{b} |$ 的大小.

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22. 已知向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 1$ .

(1)、若 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ 为 $\frac{π}{4}$ ，求 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ ；

(2)、若 $(\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，求 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角 $θ$ .

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